世界每時每刻都處於變化和運動中，無數物質組成一個極端復雜的巨大系統，而物理學一直以來的目標，就是在這種復雜性中嘗試找出最核心的規律，使之能在廣闊的時空中普遍地得證正確性。因此，通向現代物理的第一扇大門，便是如何看待時空本身。

1887年，抱著證明以太存在的想法，邁克爾遜(Michelson)和莫雷(Morley)嘗試使用實驗測量以太對光速的影響，但沒有獲得預期結果。在傳統力學環境下，不同參考系的光速可變似乎是合理的，而光速可變勢必證明了傳播光，乃至電磁活動的介質存在。不過，他們的實驗數據啟發了洛倫茲(Lorentz)在1904年使用洛倫茲變換解釋該結果，使用以下公式：

$$L = L_{0} \sqrt{1 -\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

這種嘗試又幫助了愛因斯坦(Einstein)在1905年使用兩條基本假設建立狹義相對論，它們是：

1. 「光速不變性原理」：在所有參考系中，光速是一個確定的常數$c$。
2. 「相對性原理」：所有參考系都有相同的物理定理形式，這也是伽利略(Galileo)在經典力學得出的結論的推廣。

在這兩條原理上建立的物理定律，能夠被地球上，宇宙中任意時間任何角落進行的實驗復現，從而保證了物理學的一致性。

讀者可能已經註意到了我所說的「任意時間」這個措辭，如果按照直覺來理解，參考系顯然是一個關於空間的概念，一直以來，人們都認為時間是獨立於我們生活的三維空間存在的，是「唯一神聖」的東西，這樣的看法也被狹義相對論推翻了。

Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality.— Hermann Minkowski

設想兩個參考系$F_1$和$F_2$，他們相對之間有$v$的均勻速度，參考系$F_1$中的一個人往自己正上方的天花板（雖然是在真空）發送了一束激光，嘗試測量激光反射回來所用的時間。如果他的中學物理課不是體育課的話，顯然可以省去測量這一步，我們知道，光在這個觀測者測量下所需時間是 。同樣的，我們相對$F_2$靜止的一個觀測者，也看到了第一個觀測者射出的激光，他也很好奇，光反射回地面需要的時間是多少？

我們將$F_2$看到激光射出的瞬間稱為事件$A$，將$F_2$看到激光回到地面的瞬間稱為事件$B$，顯然，對於不同的觀察者，這段區間內的光線運動軌跡是不一樣的，這些軌跡反應到直角坐標系$x-t$上的結果，就是「世界線」。對於$F_2$，他看到的光線與地面構成了等腰三角形，如果在這段時間內他在地面上移動了（當然也可能是$F_1$在運動，我們為了方便，采用$F_1$的視角） 的距離，我們就有 $$\Delta t' = \frac{2\sqrt{L^2 + (\frac{\Delta x'}{2})^2}}{c}$$ 整理得 $$(c\Delta t')^2 - (\Delta x')^2 = (c\Delta t_p)^2 = 4L^2$$

推廣到參考系在三維坐標系中的運動，由於 $$(\Delta x_p)^2 = (\Delta y_p)^2 = (\Delta z_p)^2 = 0$$ 我們就推出了一個重要的公式，對任意參考系，我們有：

$$(c\Delta t_1)^2 - (\Delta x_1)^2 - (\Delta y_1)^2 - (\Delta z_1)^2 = (c\Delta t_2)^2 - (\Delta x_2)^2 - (\Delta y_2)^2 - (\Delta z_2)^2$$

這說明了不同參考系對同一事件「感受」到的時間是不一樣的，我們把這個不變量記為$(\Delta s)^2$。盡管現實世界中大部分情況都不是勻速的，我們可以對整個式子取微分，使之仍然成立。

現在，讓我們稍微加加速，將以上的等式改記成

$$ds^2 = \begin{pmatrix} dx_0 & dx_1 & dx_2 & dx_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} = dx_{\mu}\eta^{\mu\nu}dx_{\nu}$$

這一開始看起來非常復雜，但我們只需要如此理解：如果將時空事件在某一參考系中的坐標看作一個連續的四維向量$dx_{\mu}$，那麼衡量事件之間正確交互（比如標量積）的尺度，就可以用一個矩陣$\eta = diag(1, -1, -1, -1)$來表示，這個對角陣被稱為閔可夫斯基(Minkowski)度規。

這樣形式化給我們帶來的一個便利是，我們可以用矩陣運算來表示時空變換了。現在既然我們已經有了一個不變量$ds^2$，下一步要考慮的就是，對時空坐標怎樣的變化可以保證$ds^2$不變，即經過

$$dx_{\mu} \to dx'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\sigma}dx_{\sigma}$$

我們有

$$ds'^2 = dx'_{\mu}\eta^{\mu\nu}dx'_{\nu} = \Lambda_{\mu}^{\sigma}dx_{\mu}\eta^{\mu\nu}\Lambda_{\nu}^{\gamma}dx_{\gamma} = dx_{\mu}\eta^{\mu\nu}dx_{\nu}$$

解得

$$\Lambda_{\sigma}^{\mu}\eta^{\sigma\gamma}\Lambda_{\gamma}^{\nu} = \eta^{\mu\nu}$$

或者記作

$$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta$$

這便是洛倫茲變換所需要滿足的條件。將原本洛倫茲推得的變換公式改寫成四維形式（為了簡單起見，僅作一維上的移動）：

$$\begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

其中 $$\beta = \frac{v}{c}, \gamma = (\sqrt{1 - \beta^2})^{-1}$$ 我們可以發現它滿足以上公式。

我們現在已經有了一個限製條件——狹義相對論，但這個條件還不足以使我們推導出描述自然的等式，或者說，在數學上方程的條件還不夠充分。我們接下來就來講講另一個限製條件，其中體現的優美性和哲學思辨貫穿了整個科學史。

盡管牛頓力學之後的兩百年內，物理學史都是在給這個系統做註腳，但這些註腳最終卻成為了新系統的奠基石。而其中尤為重要的，便是由拉格朗日(Lagrange)和哈密爾頓(Hamilton)共同完善的分析力學。

面對工業革命的浪潮，人們發現自己越來越需要面對機器運動等極其復雜的計算，建立在笛卡爾坐標系上的牛頓力學計算已經不夠用了，分析需要擺脫特定的坐標系。

我們有以下公理：

「最小作用量原理」：定義作用量為$S$，運動路徑為$x(t)$，自然界中所有運動（變化）的正確路徑都使得作用量最小，即$S[x(t)]$最小。

這條原理的發現有著悠長的歷史，它似乎暗示著自然界是可以被精巧的數學原理構建的，這樣的思想也被許多人作為上帝存在的證據。早在17世紀，費馬(Fermat)就發現了光線總是沿著耗時最小的路徑傳播，這裏的作用量就是時間（當然這個說法並不準確），經過萊布尼茨(Leibniz)，莫佩爾蒂(Maupertius)和歐拉(Euler)等人的發展和作用量概念的提出，它由哈密爾頓最終完善和公理化。

接下來，我們來看看如何從拉格朗日力學重新演繹牛頓力學。

我們定義一個拉格朗日量$\mathcal{L}(x, \dot{x}, t)$，使得$\mathcal{L} = \frac{dS}{dt}$，即作用量關於時間的微分，則有$S[x(t)] = \int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$，力學的目標，就是求出正確路徑$x(t)$使得$S$最小（即取得極值）。這個問題在當時是很艱難的，直到變分法的開拓，尤其是偉大的歐拉和拉格朗日的共同工作，才使得計算這些方程成為可能。我們現在暫且把這放到一邊。

我們有歐拉-拉格朗日方程（推導過程見附錄）

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}) = 0$$

設拉格朗日量 $$\mathcal{L} = E_k - E_p = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)$$即系統動能與勢能之差，代入上式得

$$-\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d(m\dot{x})}{dt} = m\ddot{x}$$

其中$\dot{x}$作為位置的一階導數便是速度，而$\ddot{x}$作為二階導數便是加速度。上式也是我們熟悉的牛頓第二定律方程。

拉格朗日力學的作用量采用能量的表示形式，獨立於任何坐標表示，也使得它相較於經典力學更加優越。如果將一般的坐標概念進行推廣（我們在上一節也采取了這樣的思想），設一般形式的拉格朗日量$\mathcal{L}(q_1, q_2, q_3, ... , q_s, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \dot{q}_3, ... , \dot{q}_s, t)$，並設$p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}$為「廣義動量」（正則動量），我們只需要將該拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程，就能求出一般系統的動力方程。另外地，我們會將 $$\mathcal{H} = p\dot{q} - \mathcal{L}$$ 稱為哈密爾頓量，如果采用 $$\mathcal{L} = E_k - E_p$$ 計算可得 $$\mathcal{H} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)$$這也就是整個系統的能量。

運用洛倫茲變換的對稱性（實際上為龐加萊(Poincare)群，我們將會在之後講到）和拉格朗日量，我們就能夠推導出整個經典力學，電動力學乃至量子力學和場論，無數天才的優美方程都將是這個方法論下的 Special Case。

It doesn’t matter how beautiful your theory is, it doesn’t matter how smart you are. If it doesn’t agree with experiment, it’s wrong. In that simple statement is the key to science. — Richard Feynman

再美妙的理論也需要實驗的佐證才能夠被科學所接受，這是一個基本原則。本節的目的便是梳理物理學中的實驗科學發展進程，以及它是如何和理論產生關聯的。

在前牛頓時代，乃至牛頓時代，實驗的觀測對象都是直接的宏觀實體，因此實驗的測量也是直觀的，我們的實驗儀器輔助肉眼，完成了一個人與機械交互的過程，這便是物理實驗。

電動力學給我們帶來了許多不能直接觀察的對象，譬如你要測量場在時空某一點的性質，你所做的可不能是僅僅直接觀察場，你需要設計一場實驗，測出受場影響的粒子性質，以此來計算出場的性質。一個堅實可靠的理論，也許描述的對象並不是可見的，但它一定會提供某種機製與可見對象產生關系。因此，我們可以將一個設計良好的實驗當作黑盒，我們需要的性質會由黑盒的「指針」呈現出來。

這樣的割裂在引入量子力學後愈發地嚴重了起來，根據波動力學的結論，微觀的粒子遵循薛定諤(Schrödinger)方程運動，波恩(Born)定則表明了，波函數為該系統物理狀態（比如能量，動量）的概率密度。一個離散的量子態是多個可能取值的線性組合，根據疊加原理，我們有（省略狄拉克(Dirac)記法）：

$$\psi = \sum_{i} c_i\psi_i$$

看起來仍然還好，這條公設將不可見的量子態與測量結果通過概率聯系了起來，實驗也證實了波恩定則的正確性，但是，從中隱含的一個結論，坍縮假設(Collapse Postulate)，卻帶來了物理學的危機。波恩定則暗示了，一旦我們測量某個量子態得到結果後，其取值也就被確定了，這個過程被稱為坍縮，由此，我們通過觀察保證了多次測量的一致性。

現在讓我們設想這樣一個黑盒子，它的指針準確地指示了一個粒子的動量，比如$p_1, p_2, p_3$，相對應的指針值為$y_1, y_2, y_3$，開始的指針指向$y_0$處。第一次測量得到的結果是$p_2$，指針指向了$y_2$並使得粒子坍縮了。如此應該假定在此後任意時刻的第二次測量都是$p_2$，那麽，遵循宏觀牛頓定律的指針也能夠直接指向$y_2$嗎？我們知道，這是不符合實際的。

這個思想實驗展現出的分歧是，在黑盒的某處，世界被分割為了兩個現實，一個是會坍縮的微觀現實，另一個是我們熟知的宏觀現實，這兩者的界限在哪裏？它們是怎麽聯系的？真的能割裂開嗎？更嚴重的是，所謂使得粒子坍縮的「觀察」也是含糊的，人類存在前的所有波函數都等著坍縮嗎？怎麽區別觀察者和實驗對象？早期的量子物理學就建立在了如此模糊的基礎上。

嘗試用完全量子化手段解決測量問題被證明是反事實的，本節的一個著名例子便是1935年薛定諤(Schrödinger)提出的問題，如流行文化所述，這只可憐的貓在他與愛因斯坦的通信裏反復去世。愛因斯坦是深信著物理的確定性(determinism)的，這是從元物理而非物理學角度得來的肯定，為了能重新恢復物理理論的確定性，他需要另一項有力的武器：局域性(locality)。

我們已經知道了量子力學在深層次上的非確定性，為了解決這樣的矛盾，1926年，玻恩(Bohn)就提出了這樣的解釋：波函數描述的可能不是完整的物理狀態，而是我們對物理狀態的「知識」，而坍縮也就意味著我們知識的更新。同樣的，在愛因斯坦和薛定諤的通訊中，兩人似乎也指向了一個可能的解釋：現有的物理理論缺失了一個或多個重要的變量，加入變量後的量子力學——比如說薛定諤方程，將會擁有確定性。這樣的猜想被稱為隱變量(hidden variables)假設。

然而，一個對隱變量著名的反駁是馮·諾伊曼(Von Neumann)在1932年對量子物理做數學公理化時證明的定理，也即：任何包含隱變量的物理理論都無法和量子力學在實驗上保持一致。但是該證明有很大的局限性，由於諾伊曼限定在了對交換算子的討論和論證，致使貝爾(Bell)在隨後批評該證明是「並不完全錯誤但卻是愚蠢的」。事實上，1952年，玻姆(Bohm)就發表了一個獨立的，帶有隱變量的確定性理論。

It is wrong to think that the task of physics is to find out how Nature is. Physics concerns what we can say about Nature. — Niels Bohr

愛因斯坦在隨後繼續致力於批評量子力學的非實在性，在1935年，他和波多爾斯基(Podolsky)、羅森(Rosen)共同發表論文提出了量子力學和局域實在假設的沖突，借此表明量子力學的不完備。簡單起見，我們闡述由玻姆重論述的佯謬(EPRB)。

根據標準模型，粒子具有一種性質稱為自旋(spin)，其取值是離散的，例如（正）電子的自旋取值為$\pm \frac{1}{2}$。假設一個粒子在$x$軸上的自旋為$s$，則我們在與$x$軸夾角為$\theta$的方向上——根據量子力學——測得其自旋為$+s$的概率為$\frac{1 + cos\theta}{2}$，也即$+s$的期望為$scos\theta$。並且哥本哈根詮釋認為，該粒子在未經過測量前自旋是非實在的(non-determined)。

現在，我們有一臺儀器同時發射一對糾纏的正負電子，它們的自旋態疊加為0，也即（同樣省略狄拉克記法）：

$$\phi =\frac{1}{\sqrt{2}}(s \otimes (-s) - (-s) \otimes s)$$

我們在對稱的方向（角度為$\pi$）安排了足夠遠（信息無法及時傳播）的兩個觀察者 A 與 B。觀察者 A 經過測量，得知電子的自旋為$s$，根據坍縮假設，疊加態坍縮為一種狀態，這時，觀察者 B 無需測量正電子，觀察者 A 即可得知正電子的自旋為$-s$，這顯然是實在的，同時也是超距(non-local)的，因此與哥本哈根詮釋矛盾。

愛因斯坦接下來推導：為了不破壞定域性，也就是觀察者 A 的觀察必須不影響 B，一定有一個決定電子自旋的隱變量在發射的時候被確定了。 1952年，玻姆通過引入一個粒子自有的場（隱變量），發展了德布羅意(de Broglie)在1927年提出的導航波理論，解決了量子力學的非實在性，但是，其代價是這個場的傳播是超距的。

讀者一定不會對 EPR 佯謬的思考方式感到陌生，貝爾就用一個生動的例子來評價 EPR 佯謬：如果 Bertlmann 教授喜歡穿不同顏色的襪子，那麽人們看到他一只腳的襪子是粉色時，也一定可以立即知道另一只腳的襪子一定不是粉色的，EPR 相關性無非就是這樣的日常相關性。

對於愛因斯坦來說，不可接受的實際上不是這兩只襪子之間的關系，而是這種相關聯鬼魅般的超距(Spooky at Distance)，哥本哈根解釋沒能回答這個憂慮。愛因斯坦想做的是使用 EPR 關聯作為一個基礎來闡述量子力學的不完美而非錯誤，只是玻爾並沒有能理解這一點。

量子力學是超距的嗎？這個問題其實在很大程度上沒有回答的意義。讓我們先嚴謹地給出局域性的定義：物理實在(objects)在時空中的運動和作用，總是不超過光速地傳播並作用到另一物體。這裏的關鍵在於，我們要討論量子力學的超距性，必須先明白量子力學中的物理實在究竟是什麽，它們之間的作用究竟是什麽？

這其實就是物理學的本體論(Ontology)問題。我們討論牛頓力學的超距性，是因為經典力學中有確切的物理實在——物體，確切的作用——重力，並且牛頓假定了重力的作用是即時的。量子力學在這個定義下無法回答是否超距的問題，是因為它們是模糊的。

如此我們需要給出貝爾對定域性的描述。貝爾認為，兩件足夠遠發生的事件，或者說事實，讓我們設為$A$和$B$，在給出對區域$\Sigma$的物理性質描述$C_{\Sigma}$後，必須滿足以下概率公式：

$$P[A\ |\ C_{\Sigma}] = P[A\ |\ C_{\Sigma},\ B]$$

也即，兩件事件概率不相幹。

如果我們具體地代入 EPRB 佯謬，設$A$事件為「電子的自旋為正」，$B$事件為「正電子的自旋為正」，而$C_{\Sigma}$，如果量子力學是完備的，那就可以設為電子處的完整物理描述，即電子的波函數。易得上式左邊為$50\%$，而右邊則為$0$。 但按照量子力學，這裏並不存在所謂的電子的波函數，因為這一對粒子是糾纏的，它們的波函數是一個整體而無法分離！

若修正貝爾的定義，將$C_{\Sigma}$推廣為$\mathcal{C}$，也即，全域(Universe)的物理描述，似乎會更為妥當，這時的$\mathcal{C}$實際也就是兩個粒子的波函數$\Psi$，我們依然能得出上面的結果，也就是，經典量子力學並不滿足定域性。

貝爾接下來做的，是通過一個美妙的不等式展現出：沒有符合貝爾局域性定義的隱變量理論能和量子力學在實驗上保持一致。

有許多種方法可以推出貝爾不等式，我們在這裏采用一種與前述 EPR 相關的。

定義$P(\hat{a}, \hat{b})$為在正負電子的兩個方向測定自旋的乘積的期望，為了方便起見，我們將自旋正規化為$+1$和$-1$。 顯然有：

$$P(\hat{a}, \hat{b}) = P_{\hat{a}\hat{b}}(++) + P_{\hat{a}\hat{b}}(—) - P_{\hat{a}\hat{b}}(+-) - P_{\hat{a}\hat{b}}(-+)$$

我們已經知道（很容易從第二節推出），在$\hat{a}$和$\hat{b}$方向夾角為$\theta$時，同自旋方向的概率為$\frac{1}{2}sin^{2}(\frac{\theta}{2})$，異方向的概率為$\frac{1}{2}cos^{2}(\frac{\theta}{2})$。代入可知：

$$P(\hat{a},\hat{b}) = -cos(\theta)$$

接下來讓我們考慮一個帶有局域隱變量$\lambda$的理論，在 EPR 實驗中我們必須保證糾纏的正負電子該隱變量相同，以此來保證它們的關聯是局域的。設電子在$\hat{a}$方向的測量結果為$A(\hat{a}, \lambda)$，同理我們有$B(\hat{b}, \lambda)$。為了使隱變量理論滿足統計力學（以及貝爾對局域性的概率定義），該隱變量一定會有一個在時空中分布的概率密度函數$\rho(\lambda)$。因為這對粒子的糾纏性，它們在同方向的自旋一定相反，自然地，我們有：

$$P(\hat{a}, \hat{b}) = \int\rho(\lambda)A(\hat{a}, \lambda)B(\hat{b}, \lambda)d\lambda = -\int\rho(\lambda)A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda)d\lambda$$

又因為$A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) = 1$，因此：

$$|P(\hat{a}, \hat{b}) - P(\hat{a}, \hat{c})|\\ = | -\int\rho(\lambda)(A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) - A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))d\lambda|\\ = |\int\rho(\lambda)(A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) - A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))d\lambda|\\ = |\int\rho(\lambda)((1 - A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda))d\lambda|$$

因為$A(\hat{a}, \lambda)A(\hat{b}, \lambda) \in [-1, 1]$，易知：

$$|P(\hat{a}, \hat{b}) - P(\hat{a}, \hat{c})|\\ \le \int\rho(\lambda)(1 - A(\hat{b}, \lambda)A(\hat{c}, \lambda))d\lambda \\ = 1 + P(\hat{b}, \hat{c})$$

此即貝爾不等式。

容易獲知量子力學並不滿足貝爾不等式，取$\hat{a}$與$\hat{c}$夾角為$\frac{2\pi}{3}$，而$\hat{b}$在其角平分線上時，該不等式不成立。事實上，至今所有的量子統計力學實驗都說明了貝爾不等式的不成立，也即是，滿足貝爾不等式的局域性理論無法與量子力學取得一致。

很多人將貝爾的理論看作是對馮諾伊曼的證明的優化，認為它完全否定了隱變量理論，從而證實了量子力學的正確性。這除了是對玻姆所做工作的忽視以外，也意味著對 EPR 關聯性的忽視。

我們需要將貝爾的工作看做是 EPR 的後續，EPR 證明了，要保持時空的局域性，我們必須引入局域的確定性隱變量理論來和實驗保持一致（回憶第一節引言費曼所說），而貝爾證明了局域的確定性隱變量理論永遠無法和實驗保持一致，按照簡單的邏輯學，我們可以立即推出：時空的局域性是錯誤的！盡管貝爾定理的關鍵在貝爾對局域性的表述正確與否（我們將會在之後探討其他可能性），但當我們重新審視 EPR 與貝爾理論的關聯時，我們似乎不得不將現代物理學的兩座基石之一看作是錯誤的。

貝爾自稱為愛因斯坦的追隨者，因為他在1964年想從局域性的第一原則來推得量子力學。理性的真實否定了這一點，他在其後的講演和論文中甚至暗示了，超距作用——如龐加萊和洛倫茲所假設的那種絕對參考系，甚至是以太，可能真的存在著。與此同時，困擾愛因斯坦的量子糾纏，成功突破思想的牢籠，在應用中展現可能的價值。去年發表在 Nature 的最新實驗物理測量結果甚至表明，亞原子範疇的量子隧道效應(quantum tunneling)是超越光速的。

當然我們可以說，量子隧道，如同德布羅意波是無法攜帶信息有效結構的，但宇宙學突飛猛進的發展，又可能揭示了早期宇宙留下的蟲洞具有超距旅行的潛力。

究竟真實是怎樣的呢？自然會告訴我們這一點，又或是，告訴我們究竟哪些真實可以言說。

沒有運動的物理學一定是不完整的物理學，為了能闡述運動，我們需要獨立於特殊對象，建立起一門關於變換和對稱的科學。數學再一次幫助了我們：群，是一個天然適合表述變換的代數結構。從具體的例子說，設想有一種二維旋轉變換，定義向左為$L(x)$，向右為$R(x)$，先後旋轉的組合運算為$L(x) \circ R(x)$，很容易驗證有以下性質：

1. 封閉：對任意旋轉$g_1, g_2 \in G$, $g_1 \circ g_2 \in G$
2. 單位元：存在$e \in G$，使得$\forall g \in G, g \circ e = e \circ g = g$
3. 逆元：$\forall g \in G, \exists g^{-1} \in G, g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e$
4. 結合律：$\forall g_1, g_2, g_3 \in G, g_1 \circ (g_2 \circ g_3) = (g_1 \circ g_2) \circ g_3$

將這個旋轉變換群作用在單位圓上，就會發現經過任意變換後，圓保持不變，這時我們把這個群稱為「對稱群」，這是個十分重要的概念，回想一下洛倫茲變換滿足的矩陣式，事實上，洛倫茲變換對四維的閔可夫斯基度規確實構成了一個對稱群。

以上對旋轉的定義是模糊的，用更精確的矩陣表示這個群，有：

$$R(\theta) = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$$

這個定義被稱為$SO(2)$群，它不夠直觀，我們需要一個更本質的定義。驗證發現，所有模為1的復數，加上乘法構成了一個群，這被稱為$\mathcal{U}(1)$群，將上式改寫為：

$$R(\theta) = cos\theta + isin\theta = cos\theta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + sin\theta \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

它對$\mathcal{U}(1)$群裏的所有元素作用是和$SO(2)$等效的，可以說，兩個群是「同構」的。

擴展到三維，情況就復雜多了，我們可以看到，繞每一個軸都有與二維類似的旋轉矩陣，它們構成的$SO(3)$冗長，復雜又不夠優美，繼續我們剛剛的改寫，這次用四元數代替復數：

$$q = cos\theta + usin\theta,\ u = ai + bj + ck,\ det(q) = 1,\\ i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, j = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, k = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$$

這下好看多了，要保證度規不變，我們定義$v = xi + yj + zk$，使得$v' = qvq^{-1}$。這樣，一個$S\mathcal{U}(2)$群就誕生了，神奇的事情發生了，我們來帶入一個例子：$x$軸單位向量繞$z$軸旋轉：

$$v' = R_z(\theta)vR_z(\theta)^{-1} \\ = \begin{pmatrix} cos\theta + isin\theta & 0 \\ 0 & cos\theta - isin\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\theta - isin\theta & 0 \\ 0 & cos\theta + isin\theta \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 0 & e^{i2\theta} \\ -e^{-2i\theta} & 0 \end{pmatrix}$$

多出來的倍數2是怎麽回事呢？這說明對於一個$SO(3)$的元素，有兩個$S\mathcal{U}(2)$元素與它對應，這時我們說$S\mathcal{U}(2)$「覆蓋」(double-cover)了$SO(3)$。當一個對稱群覆蓋了另一個時，我們在之後可以看到，它是更為本質的。

對於有限的變換，我們使用最基本的矩陣表示已經足夠，但如果涉及到連續的，無窮的變換——物理學大多是這樣的，我們就需要一種新形式：「李群」(Lie Group)。運用微積分裏對連續量的思考，我們相似地定義一個無限小量：

$$g(\epsilon) = I + \epsilon X$$

其中$I$是單位元，由此，任意變換都可以認為是無限小量的無限疊加：

$$h(\theta) = \lim_{N\to\infty}(I + \frac{\theta}{N}X)^{N} = e^{\theta X}$$

所有的群元素都由確定的生成元(Generator)$X$構成，因此對於一個李群，只需要確定其生成元和生成元的組合方式（我們一般稱其為交換算子）。這兩樣共同組成的代數結構，就是「李代數」(Lie Algebra)。滿足條件的$S\mathcal{U}(2)$李群的生成元組被稱為「泡利矩陣」(Pauli Matrices)，它們是：

$$\delta_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\ \delta_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},\ \delta_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

其他所有生成元可以被認為是它們的線性組合。

讀者讀到這裏肯定已經猜出來了，模為 1 的復數在幾何上表示是單位圓，模為 1 的四元數——同樣的，也是一個四維的球$S^3$！有一個優美的定理：每一個有限維李代數，都只有一個簡單連通的李群（流形）與之對應。如此，我們也可以把$SO(3)$看作是$S\mathcal{U}(2)$的上半部分。

我們最後要做的工作是，將抽象的對稱群，利用表示論的知識重新轉換到向量空間上。不言而喻，從抽象群到向量空間$V$的轉換必須符合群公理，在這一基礎上，一個非平凡的表示還必須「不可約」，即該表示保證了不存在一個封閉的$V$的子空間。由是利用舒爾引理：

對一個不可約表示$R$，每一個與所有生成元滿足交換律的線性算子$T$都是標量。

我們找到了$S\mathcal{U}(2)$的線性算子$J^2 = J_1^2 + J_2^2 + J_3^2 = 2$，其中只有$J_3$是對角化的：

$$J_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

將它們改寫成特征值表示：

$$J_2 = b(b, m) \\ J_3 = m(b, m)$$

定義兩個操作符：

$$J_\pm = J_1 \pm iJ_2$$

有趣的是，對任意的$J_3$進行這兩個操作符的運算，都會得到新的不同維度的$J_3$，因此它們也被稱為梯子操作符，根據$S\mathcal{U}(2)$群原本的條件列出方程，我們可以看到這些特征值的取值是離散的。

我們知道，所有使得閔可夫斯基度規不發生改變的變換被稱為洛倫茲變換，根據行列式和第一個元素的正負，它們可以被分為四類。用逆時矩陣$\Lambda_T$和逆空間矩陣$\Lambda_P$，我們將洛倫茲群歸為第一種的不同變換（讀者可以自行思考這兩個矩陣的表示）：

$$O(1, 3) = \{L_+^{\uparrow}, \Lambda_P L_+^{\uparrow}. \Lambda_T L_+^{\uparrow}, \Lambda_P \Lambda_T L_+^{\uparrow}\}$$

以上知識已經足夠我們得出洛倫茲群的李代數，篇幅限製，我們直接給出結果：容易驗證旋轉變換$S\mathcal{U}(2)$是滿足洛倫茲變換的條件的，另一「加速變換」(Boost)則通過閔可夫斯基度規的要求$\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$得出，這兩個變換並不滿足生成元的交換條件，因此將它們合並為：

$$N^\pm_i = \frac{1}{2}(J_i \pm iK_i)$$

加速變換$K_i$和旋轉變換$J_i$之間的交換關系與旋轉變換本身是一樣的，所以洛倫茲群也覆蓋了$S\mathcal{U}(2)$群。對$N^+$和$N^-$分別賦值泡利矩陣（還記得它是$S\mathcal{U}(2)$的生成元嗎），我們得到了三種表示：

1. $(0 ,0)$表示，即零自旋表示，用來描述標量粒子，如希格斯玻色子。
2. $(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})$表示，用來描述旋量粒子，如電子和誇克。
3. $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$表示，用於描述向量粒子，如光子。

從變換的對稱性，我們窺見了自然精妙的設計，「自旋」這一基本量的不同，確確實實地描述了所有基本粒子。

最後，給洛倫茲群加上坐標尺度的「平移變換」(Translation)，我們得到了龐加萊群，這已經足夠描述光速不變原理下的所有物理定律。

平者，水停之盛也，其可以為法也。 —— 《莊子·內篇》

在本系列的第一篇裏，我們介紹了一種改進經典力學的新形式：拉格朗日力學，並提出了作用量的概念。如果我們把這個想法更進一步，考察作用量在變換中的性質，會發現很多有趣的結論。

我們認為在經典力學裏，作用量關於時間的微分為拉格朗日量$\mathcal{L}$，並介紹了它對於速度的微分：廣義動量。這是個比較粗暴的講述，為什麽它被稱為動量呢？

中學裏對動量的定義是$p = mv$，容易看出這就是動能對速度的導數。對於凸函數$T = \frac{mv^2}{2}$，它有以下這個性質：

給定直線族$y=px$，函數$F(p,x) = y - f(x)$在$x=x(p)$時會取得$x$的極值。則$T^*(p) = sup\{F(p,x)\}$被稱為$T$的「勒讓德(Legendre)變換」，這也是原函數的對偶函數（即它們的一階導數互為反函數）。

對動能，我們有$T^*(p) = max\{pv - \frac{mv^2}{2}\}$，$F(p,v)$的極值條件：

$$\frac{\partial F}{\partial v} = p - mv = 0$$

故該斜率即為動量，帶入得對偶函數為：

$$T^*(p) = \frac{p^2}{2m}$$

如果有閑心對該函數再求一次勒讓德變換，可以發現回到了動能式。這個表現的深刻之處在於，它將坐標空間上的對速度的累計動能，成功和相空間上的對動量的累計動能對應了起來（微分幾何上則是切叢和余切叢的關系，在此不作過多表述）。

要考察其在時間變換下的表現，我們對拉格朗日量$\mathcal{L}(q, \dot q, t)$取時間的全微分（乘上虛數單位）：

$$\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q^i} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q^i}$$

帶入歐拉-拉格朗日方程有：

$$\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\dot{q^i})$$

我們很容易看到用動量記號$p^i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}$代換後重定義，原來的拉格朗日量就會轉化成漢密爾頓量$\mathcal{H} = F(p) = p\dot{q} - \mathcal{L}$。它更適合來研究時間變換尺度下的不變性。

要證明作用量在時間變換下的不變，即證明與拉格朗日量對偶的漢密爾頓量，是一個與時間無關的函數，即得出了能量守恒。到了量子力學裏，粒子在場中運動的漢密爾頓方程（E-L 方程的改寫），則是著名的薛定諤方程。

由此推廣地看，不光光是時間變換，平移、旋轉和其他變換都能得到一個自然界固有的不變量，而這也就是下一節所要講述的核心。

諾特定理本質上是個微分幾何領域的定理，但從前幾節我們已經或多或少感受出了運動系統和幾何流形之間的關系。偉大的發現往往把看似矛盾的事物聯系在了一起，這條理論物理的中心結論之一就是這樣，它從連續的對稱中發現了一種守恒的關系。

證明這個定理的方法有許多種，但第一步是要形式化它。如果只是說「任意變換對稱性都有一個對應的守恒量」，是不準確的。我們說這句話省略了很多的前提。

延續上一節的框架，我們定義在拉格朗日量$\mathcal{L}(q, t)$下，系統的微分增長為$\mathcal{L}(q + \delta_q, t + \delta_t)$，我們認為系統作用量此時具有對稱性，當且僅當$\delta_S = S(q') - S(q) = 0$。當我們將微分增長用無窮小量表示：

$$q' = q + \delta_q = q + \epsilon \Delta q \\ t' = t + \delta_t = t + \epsilon \Delta t$$

當且僅當$\epsilon$為一趨近於 0 的常量時成立，這時我們稱這系統具有「連續的全局對稱性」。同時，在這個範疇下我們需要一個確定的運動方程（比如 E-L 方程）來完成對稱性和守恒量之間的對應，也即該守恒量是「在殼」(on shell)的。

如此諾特定理的準確表述是：一個離殼的連續全局對稱性具有一個在殼的守恒量$I = p\Delta q - \mathcal{L}$與之對應。

回到第一節介紹的李代數，我有意略去了交換算子的介紹，在這裏，我們將詳細地說明。一個交換算子（李括號）是一種運算，它滿足下列三條規則：

1. 雙線性：$[X, aY + bZ] = a[X, Y] + b[X, Z]$
2. 反對稱：$[X, Y] = -[Y, X]$
3. 雅可比恒等性：$[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0$

在李代數對應的李群$G$上定義一組映射$F_t^a : G \to G$，使得它遵守$\frac{d}{dt} F_t^a(b) = [a, F_t^a(b)]$。顯然這組映射就是作用在$G$上的變換。我們可以驗證它很好地滿足了群公理。

對於變換滿足的條件$F_t^a(b) = b$，我們說$a$產生了連續的全局對稱性，同時，$b$也自然是一個守恒量，現在我們要證明，$b$對該系統也具有連續的全局對稱性，即$F_t^b(a) = a$。

對等式取微分即：

$$\frac{d}{dt}F_t^a(b) = [a, F_t^a(b)] = 0$$

在不變換的情況下，即使$t = 0$得：

$$[a, F_0^a(b)] = [a, b] = -[b, a] = 0$$

即$F_t^b(a) = a$證畢。諾特定理成立。

我們的目標是尋找 $$S = \int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}(x, \dot{x}, t)dt$$ 的極小值，設極小分量$\epsilon(t)$，即使得

$$S' - S = \int_{t_1}^{t_2}(\mathcal{L}(x + \epsilon, \dot{x} + \dot{\epsilon}, t) - \mathcal{L}(x, \dot{x}, t))dt = 0$$

對$S'$進行泰勒展開

$$\mathcal{L}(x + \epsilon, \dot{x} + \dot{\epsilon}, t) = \mathcal{L}(x) + (x + \epsilon - x)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} + (\dot{x} + \dot{\epsilon} - \dot{x})\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} + ...$$

由於在$S$處取得極值，故我們舍棄二次以上項得

$$\int_{t_1}^{t_2}(\epsilon\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} + \dot{\epsilon}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}})dt = 0$$

由分部積分得

$$\int_{t_1}^{t_2}dt\dot{\epsilon}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = \epsilon\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\biggr\rvert_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}dt\epsilon\frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}})$$

由於固定了起點和終點，因此我們有$\epsilon(t_1) = \epsilon(t_2) = 0$，代入得

$$\int_{t_1}^{t_2}dt\epsilon(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}})) = 0$$

由雷蒙引理(Du Bois-Reymond lemma)

對$[x_1, x_2]$上的連續函數$f(x)$和無窮小量$\eta(x)$，若$\int_{x_1}^{x_2}\eta(x)f(x)dx = 0$且$\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$，我們有$f(x) = 0$。

故

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}) = 0$$

即歐拉-拉格朗日方程成立。

Her courage, her frankness, her unconcern about her own fate, her conciliatory spirit were, in the midst of all the hatred and meanness, despair and sorrow surrounding us, a moral solac.— Hermann Weyl

艾米·諾特(Emmy Noether)出生於巴伐利亞州一個普通的中產猶太家庭。1900年，18歲的諾特從一所中學畢業，並獲得教師資格，在當時，富有的中產小姐在中學教授英語和法語被認為是一項體面的工作，但諾特卻放棄了這個機會，她決定就讀埃爾朗根大學。

諾特一開始被允許旁聽數學系的課程，1904年正式成為學生。在哥爾丹的指導下，她花費三年時間獲得了博士學位，研究方向是代數不變量。她計算出了三百多個不變量，並在數學界獲得了良好的反響，盡管在之後，她並不滿意自己的成果，認為它們是毫無意義的。

諾特隨後在母校無償教授了七年的數學。1915年，受希爾伯特的邀請來到哥廷根。按照普魯士法律，女性並不能獲得教職，面對諸多質疑，希爾伯特做出了著名的回擊：「我們畢竟是一所大學，而不是一間澡堂。」在這段時間裏，諾特證明了關於守恒量的定理，並由克萊因代為在皇家科學院發表。

1918年，看到諾特研究的愛因斯坦寫信給克萊因：「在閱讀了諾特小姐的研究後，我再次為她沒有教職而感到不公。」在希爾伯特的名義下開設講座四年後，諾特終於獲得了一個依然無薪的教職，可以自己教授學生。一戰以後的飛速通貨膨脹讓她的生活十分艱難，但她並不在乎這點。

諾特在隨後的十三年中對純粹數學做出了巨大貢獻，她對環的理想做出了準確定義，並在1928年看到了交換代數和拓撲學之間深刻的聯系，因此被認為是代數拓撲的奠基人之一。她喜歡在授課時與學生討論，許多重要發現也是因此做出的。

1933年，諾特由於猶太人身份被哥廷根解雇，在她曾經門生韋伯的鼓吹下，學生們開始向校內「反德意誌精神」勢力發起攻擊，哥廷根大學的數學中心地位自此失去，希爾伯特在面對納粹教育委員會提問時回答：「哥廷根的數學？再也沒有了。」

諾特在美國一所女子學院度過了生命中最後兩年，1935年，她在治療卵巢囊腫的術後感染中去世。她被認為是二十世紀最為重要的數學家之一。如同許多同時代的女性一樣，她用天賦、熱情和創造力向我們證明了，真理永遠獨立於身份之外。

我們的時代結束了……黑暗中僅存的微光提醒著我們。

約一百年前，第三次數學危機提醒了人們要建立一個完美無缺的形式化系統來指導數學乃至科學的基礎發展，但之後的事情大家也十分熟悉，偉大的天才 Gödel 證明的定理使這個美夢破滅了……數學從此進入了很長一段時間與現代實驗科學割裂的時期，直至超弦理論的蓬勃發展帶來轉機為止。

與此同時，數學的離去卻使得數字的力量前所未有地增大了，這種力量來自統計學，數值計算，也來自電子計算機的制造。我們變得越來越像 Adams 筆下的人，建造接近神明的機器，期待它帶給我們指導與解答。社會的運轉和統治越來越離不開計算和數值，人們用數字說服他人，表達意見，預測未來，評估風險，整個現代社會就是建立在數字上的社會。

對數字的信仰近乎成了一種狂熱的情愫，在很多時候意味著公共權力上升到了一個危險的度，也使得一種被稱為社會統計的新興學問蓬勃發展。很多時候，模型的建立成了社會現象出現的第一應對措施，而模型的預測成了公共決策的主要來源。

在數字的保護下人們帶上了一層面具，那些並非切身所體驗的危機，都可以被冰冷的比例，標准差所掩蓋，數字化的資訊淹沒了個人奮鬥的軌迹，成了二進制荒原般的存在……這種數字泡沫直接來源于萬維網的建立，早在1998年，中村隆太郎導演的 Lain 便極富預見性地指出了這種泡沫：一旦人們只相信自己願意相信的資訊，一旦信息成了新時代的石油，神就再次有了存在的理由。電子計算機不再僅僅是人使用的工具……它成了奧林匹斯山。

數字崇拜一旦失效，模型一旦崩塌，所帶來的後果也是災難性的。當確實的危險迫近，我們會因為訊息與現實的不一致感到驚慌失措，而不知該如何應對。2020的開始就如手術刀般精准地割開了這個隱形傷口……把數字迷信的夢靥暴露在世人之前。

任何非平凡的程序性質，都不存在一個通用算法進行判定。

引言便是軟件分析的著名准則：Rice 定理。它和 Gödel 不完備定理一起，決定了計算問題的一個邊界。也是對災難富有啓示意義的預言。

Kevin Kelly 在《失控》中預言了新生物學和電子學帶來的偉大時代，堪稱未來主義的典範。而以之為代表性的，人們傾向于用一種幻想的色彩來規劃計算機科學的未來。“計算機將不止成為數學的附庸，它將成為生活革命的楔子。”

科學哲學的指導意義在這裏消弭了……如果說數字迷信是泡沫的根源，那麼計算機至上論就是泡沫的擴張原因。電子計算機的設計者並沒有預見到21世紀的計算機會扮演一個怎樣的角色，科技爆炸的速度遠遠超過了任何先驅的設想，這使得在計算的漏洞尚未修補的情況下，計算的高樓已然築成了。

如果一個系統有了一個錯誤和缺陷……那麼它便會不斷在這基礎上産生錯誤和缺陷。與數學訣別的計算機科學也抛棄了驗證的可能，即使是軟件分析只能做到近似和無限接近，即使是這個系統有自身未曾發現的阿克琉斯之踵……計算機工程就像是在彷徨的海洋上，面對臨近的風暴毫無防備的漁船。

為此，我誠摯地呼籲計算機哲學和作為純粹數學的計算科學的誕生，我們需要重新賦予計算機工具的定位，重新賦予計算系統形式化的內核，即使是亡羊補牢，卻也為時不晚。

說到底……機器人的制造者最相信的還是人的力量啊！

機器的行為究竟是機器的意義，還是人的延伸？接納人的造物作為社會的一員，真的有這麼困難嗎？要解答這些問題，我們仍然要去哲學中尋找一些答案。

與計算機科學相反的，現代的哲學研究愈加地關注此在，也即是個人的可能性。例如以語言為核心的分析哲學，和以意義為核心的存在主義哲學，都試圖回答一個基本的問題：我們的語言如何「固定」意義，我們的行動如何成為此在的意義？在此基礎上，如何正確的對待機器和工程技術成為了一種現象學的分析結果。

其中最為著名的便是 Heidegger 在 The Question concerning Technology 中嘗試提出的視點：我們建構機器和我們與機器的交互，標志著人的此在開始從一種機械的角度對待世界，或者用更加海德格爾味的語言說，「此在開始機械地對抗虛無」。這是一種與前工業時代最大的不同和對立，在之前，人對待世界是詩意的。

單純地去責備人對世界的改造似乎是無意義的，機器用智能和社會建構來向我們宣示勝利似乎也是不可避免的……此在的奮鬥軌迹成為機械性的物理運動，在這個層面上，既可以說是人被染上了機械的存在，也可以說是機械攜帶了此在的溫度了。

也許，也許最大的問題在于人們將詩意與美作為人的最後一層辨識和保護，拒絕與作為歷史的此在，也就是大工業時代的世界分享，而這也就被美化成了人性的正義。這種二元的對立和割裂助長了人們對機械、計算和數字的迷信，將相信數字作為抗拒機械侵入人性的借口，成了現代人的原罪。

若是，存在于機械中人的溫度仍被人忽視，悲劇就永會再次重演。只有當人性的關懷確實地成為工業世界，成為計算機科學中的一個部分，下一個世紀的光明才會從火種中誕生……

今天正好收到了漂洋過海的 K-ON! 劇場版的特典 CD，算是圓了一個小小的夢想。又恰逢最近重看了一遍山田尚子監督的《利茲與青鳥》(Liz und der blaue Vogel)，從很多角度找到了可供解讀的點。仔仔細細地把心頭很多思緒整理出來后，也就試着來寫些什麼了。

本文的主要目標是從山田尚子(Naoko Yamada)的監督作品，和一些分鏡演出作品入手，引出一種特別的敘事方法：小型世界敘事。不同於宏大敘事和細小（日常）敘事這樣的概念，小型世界敘事着力於建構一個整齊卻微小的完整世界，並將宏大敘事壓縮於細小敘事的結構內，從而產生對大命題的分解和討論。

這種敘事方式在 ACGN 中應用的開端來自視覺小說，並逐步影響了動畫，漫畫以至於電影藝術範疇，從根源看，小型世界敘事又是古典小說常用的技法，相比起詩的表達理論，古典小說展現了一種獨特的建構法，並為自己爭取到了文學理論中的地位。

接下來，本文以《涼宮春日》系列和《素晴日》(素晴らしき日々 〜不連続存在〜)為切入點分析，探討21世紀以降世界系作品發展脈絡，拓展世界系的含義，並批判性地研究了意識形態和社會意志在文藝作品的地位演變。

如果對《吹響！上低音號》整個企劃稍有了解，就會知道其本質是一個群像劇的青春題材，描寫高中吹奏部的奮鬥史，本身已經不算是多麼宏大的敘事了。當融入了京都擅長的演出方式后，張力就被轉移到了個人間的聯繫。分割團體是日常化的進一步做法：每個人堅持的信念產生對立，以此出現衝突。矛盾的直接來源是日常的，矛盾的解決也同樣是日常的。然而山田小姐對《利茲與青鳥》做了進一步的壓縮，從一個群像的交響樂轉為二人的敘事曲。人與人，這是事件存在的最小原子，在這樣的格局下完成一部優秀的戲劇作品是十分困難的，因為較為宏大和多元的描寫能減弱”演出虛構“的壓力，當觀者帶入自身至某一個角度時，情節的推進就順理成章地出現了。

山田尚子對此採取的解決方法有下列幾點：進一步壓縮鏡頭和位移。使用眾多的符號和象徵來限制解讀，或者說，以此將本來不在場的其他元素引入故事。最後，建立一個封閉的敘事環境來隔絕現實和集體意志，從而傳達出合理而又完整的小型世界含義。

相比起 TV 動畫的場景多樣化且多用遠景展現宇治風貌，《利茲與青鳥》的現實鏡頭被限制在了北宇治的校舍中，甚至其都未完整地展現過建築的全貌。同時，即使是在虛設的童話世界中，對遠鏡頭和自然的刻畫也被有意識地壓縮過了，鏡頭的中心是利茲，和化身為人形的青鳥。而在現實的北宇治，鏡頭的中心就是希美和霙兩人。

包括以往的作品，山田很喜歡將分鏡定格在支離的人體上，包括腿部，手部和腰部的細微動作和肌肉活動，這是少女性的象徵之一。這種傾向在本作中也得到了充分的體現，甚至我們從兩人的腿部動作解讀出來的感情信息要比神態還多得多，霙特有的捋頭髮的動作，希美雙腳交叉的不安感都是典型的心情表達。同時，構圖和背景的壓縮進一步加深了線條感，如音樂教室的黑板，窗框與窗戶等等。這種壓縮還體現在她對鏡頭焦距和機位的設置上，背景的虛化——如她自己所說的「牛奶瓶底」般的鏡頭極富有個人特色，這種偏向寫實感的鏡頭有利於青春期少女這個形象的建構，也給了觀眾一種更好的觀察體驗，加強了作品的電影化敘事風格。

最具有代表性的場景之一便是下圖，兩人在午後的陽光下隔着中庭對望，希美髮現用長笛折射陽光的光影時兩人的笑容，在這個場景中，鏡頭的對稱感和細小的整齊美被發揮到了極致，舞動的陽光，鋼琴曲，忠實呈現性格和思緒的表情，這些組合在形式上的美感頗具山田尚子的風格。

山田小姐與負責腳本的吉田玲子在《利茲與青鳥》中寫入了很多象徵物，首要的當然是童話中利茲與青鳥的隱喻，自我認同為施愛者，覺醒自身作為被愛者的不安，是本部作品相當明顯的一條情感線。在訪談中山田也提到了自己對整個故事的理解是一種「玻璃質感」的，若即若離的兩人，純澈透明的感情，這些元素在纖細的人物加持下給整部作品增添了不少空氣感。

為了避免陷入過度解讀的危險，筆者將盡量依照動畫的主要周邊特典中攜帶的訪談記錄，加之以部分個人印象較深的概念來分析《利茲與青鳥》中的象徵物。

眾所周知，山田尚子對花的演出和花語的使用有很強烈的偏好，在本作中也出現了很多花的鏡頭，譬如開頭代表希美性格（霙眼中）的花毛茛，花語是溫柔的關懷；回憶中希美與霙初見時的百日菊，花語是每日的問候；梨梨花邀請霙時候的向日葵，花語是沉默的愛；希美向夏紀和優子袒露心境時的黃玫瑰，花語是懷帶歉意的愛。花的使用充實了整個故事的質感，花本身也成了這個小世界的固有物，與其他元素一併構成了融洽的整體。

學校是壓抑的，在走出校門之前，這一小小的片偶之地就如同鳥籠，自我封閉，遲鈍表達愛意的霙，敏感自尊的希美，她們的感情被這種箱庭感強化了。校園即整個世界，在此之上，即使是如此微小的結構也能被放大成為危機，困難，成為小世界的介入者。為了營造出一種不被接近的二人世界，山田還在動畫中弱化處理了時間的影響和推進，一旦這個世界從時間的連續性上剝離開來，那麼發生的故事也能獨立與流動在時間長河中的現實之外了。

動畫中有一個很有意思的隱喻，在霙望向自己手中空白的進路調查表時，老師正在講述互質的概念，事實上，正如監督所說，希美和霙在此時仍是互質的兩人，她們共同的因子是唯一的，那便是音樂，這也就暗示了為什麼希美因霙的音樂才華而受到傷害。她無比期待着霙肯定自己的吹奏，為此甚至不惜自我傷害，煩惱，以至於誤解霙的心意。

希美的我執，霙的我執，既構成了這個小型世界的全部存在，也導致了危機的產生。當外部世界的嚴肅論題，宏大的社會現實介入這個二人的世界時，情節便產生了。無法接受分離的病理性戀愛被才華、前途和主流敘事中的個人掙扎無情擊碎，這不可避免地使整個故事滑向了一個 Bad Ending 的可能。

但是山田小姐還是給了整個故事一個 Happy Ending，就如希美所說，故事還是要有個幸福的結局才好。放飛青鳥的利茲雖然並沒有完全釋懷，但她的愛意真切地表述了出來。希美在最後對霙說，你以後一定能闖到更遼闊的世界中去，這是她真摯的希望和祝福。美麗的青鳥失去了翱翔的資格又何如美麗呢？就在這時，我們才突然醒悟，嚴肅的問題從未離開，而是被解構，被隱蔽在了細微的節奏中。

山田尚子很重視瞬間的感受，兩人的心意半分交織的和解，是無法替代的一瞬間，是此在面向世界的態度和行動。這種電影哲學提煉成的美麗羽毛，在本作中得到了本質體現。無論這個故事接下來如何發展，在這一瞬間它達到了一個妙處，這亦是對時間的壓縮，對世界的壓縮。山田自己說，希美和霙都會展翅翱翔，兩人身上還有太多自己未發現的魅力，其中定有能讓兩人美好關係持續一生的珍寶。在這個詮釋上，小型世界確實地通過人的作為得到了拯救，這種拯救無關於外部的介入和壓力，是純然透明的。

因此從《利茲與青鳥》極為密集的鏡頭語言中，傳達的不僅是一個纖細美好的故事，也是依靠更宏大的命題展現的人性美和存在性的寓言。

普遍認為，《輕音少女》開創了「空氣系」的新動畫敘事時代，影片中看似毫無行動內容的少女們喝了三年的茶，以至往常作品中推進劇情的元素全被消去，留下了形而上般的靜止存在。一旦永無止境的日常成為了現實，成為了迷茫中人們唯一能接受的慰藉，由瑣碎構成的故事集合就成為了值得被消費，被關注的劇作了。從這些常見的論調中，得出了「日常系」是徹底放棄了意識形態的純消費主義作品的結論。

然而筆者使用了「看似」，「往常」等字眼絕非偶然。深入挖掘探究「空氣系」作品，尤其是如《輕音》這樣的「空氣系」典型的結果，便是重新將文藝的大命題在其上找到清晰的映射。此在與世界的抗爭與聯繫是文學永恆的主題之一，這個主題在八九十年代表現為高達系列和一些宮崎駿作品，諸如《風之谷》和《懸崖上的金魚公主》，在這之後又有《新世紀福音戰士》和新海誠為代表的「世界系」作品，而在新世紀，通過特殊的敘事方式，這個命題被解構融入到了「空氣系」的內涵中。

我們可以選取一個較有代表性的切入點，也就是從《輕音》到《上低音號》中，山田乃至整個京都動畫對性別意識的解釋和構成，以此來研究作為「日常系」標杆的京都動畫如何表現宏大命題的結構的。

《輕音》的故事背景發生在了女校，而山田也一直強調這是個描繪「青春期的女孩子」的故事，可以說在這個基礎上，不但對本作的演出有了一個明確女性化的走向，對本作想要傳達的內容物也是做了一個大致的規界。動畫中一直在強調輕音部的女性屬性，拾起櫻花的一分鐘長鏡頭，剪劉海的烏龍，枕頭大戰……等等，「如果願意，我想把鏡頭一直定格在那裡，把少女周圍美好的空氣也拍進去」。這種將男性敘事排除在外的結果，就是性別的建立，觀賞者感受到的是純然的女性美好。直白的說，《輕音》中代表男性的「力」被有意識地減弱乃至消去了。

如果說第一季想表現的是閃閃發光地投入喜歡事物的瞬間，那麼向外部世界的擴展就成了第二季重要的要素。從第一集開始對三年級的感傷和憂慮，第七集描繪曾我部學姐在北海道大學的鏡頭，一路貫穿到升學的各種選擇，意向，彷徨和決定，山田開始在這個小世界中引入更為巨大的外部因子，而這，用山田自己的象徵意味說，就是「宇宙」。但是於以往許多的作品不同，宇宙在這裡並非對立的存在，並非邪惡的存在，宇宙是每個人都要接受的未來。

不是旁人將她們推向宇宙的，是唯她們自己走向未來的。這也和前文所述的山田作品追求的瞬間意義相吻合，存在的瞬間是現實無法替代的寶物，值得被永恆的刻畫。帶着這種意義，山田得以在劇場版中展現更多的思考，電影技巧和表現力。在此，這個純然由青春時代的女孩子組成的世界達到了終點，大命題也就被引出：如何與青春時代作別？如何與幻想作別？山田小姐給出的回答是充滿希望的。與青春作別的四人帶着無限的可能性和希望踏入「宇宙」，因為隔絕青春期幻想和宏大顯示的牆本就是不存在的，這是個連續的世界，美好的在現實中成了永遠美好，理想性的色彩成了《輕音》最偉大的光輝。

這個「宇宙」的隱喻繼續前進，來到了下一部山田尚子監督的作品——《玉子市場》。從輕音部的五人關係擴展到商店街這個共同體的舞台，山田突破性地將應該具有的性別格差弱化了。我們能從餅藏和綠身上察覺到同一種對玉子的感情，並且如導演自己所述，這絕非百合這麼簡單，它更多地呈現為一種青春期特有的關注，那個對自己特別的存在的關注。同時，山田對商店街的居民塑造也體現了性別的突出讓位於情感的突出這一趨勢，花店老闆，浴場女兒等人物印證了這一點。

王子的南國成了大命題在小型世界的元素：跨過青春期以後成人的元素，帶有性意識的戀愛，婚姻，以及隱隱的鄉愁。就像神奈在11集所說：感覺就像站在了宇宙的入口呢！搖擺不定的青春期延續到了《玉子愛情故事》，壓縮了格局，將敘事轉為個人的內心情感托出，並最終得到解答。「玉子是一個與眾不同的女孩子，她缺少了成長的過程，關注自我的過程，因此這樣的孩子在面對青春的終結時想必會十分糾結和慌張。」

我想以不損害迄今為止的玉子為前提，去描寫不只是對周圍的人們，對自己也能珍惜重視的玉子。此前不曾知曉戀愛的玉子面前增添一個新世界，有種大開眼界的感覺。就一個17歲的女生而言，她沒有頭腦發熱就走過青春期成為了大人，雖然這並不是什麼壞事，但也會因此看不見某些東西。所以我想去描繪一個女孩子在決定面對自己之前，煩惱、變化的樣子。

在《聲之形》中，山田尚子特別指示過要「忘掉人物作為男性和女性的身份」來刻畫故事，而這到了京都近年最優秀的作品系列《上低音號》中，就顯得十分成熟了。

至此，山田完成了從描寫青春期女性向描寫青春期的轉變，從展示性別到展示性意識的轉變，從建立性別格差到消解性別於感情之中的轉變，在後期的作品中，觀眾能鮮明的感受到山田強調性別的地方越來越少，直至所有的意象都成了展現情感的內容物。久美子對麗奈，麗奈對久美子複雜的情感，僅僅只是百合嗎？當然不是，這種關係展現在了久美子「想要演奏的更好」這樣的獨白中，展現在麗奈「成為特別的人」的宣言中¹。麗奈在久美子心中是一個特別的人，這種關係是不變的。在青春時代，在校園的社團時代，這些人與人相互依存與相互競爭釀造出來的友情是十分具有分量的東西，這種迷人的人際關係是這個小世界建構的核心。

因此，第八集中麗奈的手指劃過久美子的嘴唇這個場景就不帶有情愛的色彩，而是「戀」的色彩了。「明明情感是豐富與複雜的，比如信任感，依賴感，這些情感又能被『喜歡』容納，產生出力量。」

製作分鏡時正可謂是深夜的感覺，像在半夜寫情書一樣非常開心。登山的過程中久美子漸漸看起來像個少年。我希望在觀眾眼中她是一名墜入一夏之戀的少年。那是對久美子而言的「第一次」。

電影化敘事對文學敘事的解構和再造是這個時代美麗的來源之一。

可被訴說的文學大致已經說盡了。不只是從何時起，詩不再作為一個語言的革新者，而故事成了將隱喻顛來倒去排列組合的無聊活動。可被相信的希望大致已經消失了，我們的世界不再是一個新生的時代，奮發昂揚的銳氣被商品和資本壓得喘不過氣來，而互聯網成為了壓死駱駝的最後一根稻草。日常將永遠是日常，核戰爭，末日和危機無法抹除這永無終結的日常，在全球化的謊言下彷徨的人們，自我將此在放逐了。

村上春樹在一開始就意識到了這一點，在這個「虛構」的時代，個人無法以行動改變世界的形態，而唯有改變自己的認知，從世界抽離然後再構建世界，才是所有謎團的答案¹。村上春樹在耶路撒冷發表的「高牆與雞蛋」的演講，宣示着政治意識形態從文藝中再次脫離，世界的結構成了無力的原子²。這種消費主義的幻想繼續推進，一旦我們不再願意去脫離日常自我成長，那麼社會現實提供的道路，對個人的介入就變得毫無用處。我們追求的不是自我身份的結果和發展，而是自我身份的認同和承認，因此，世界系就產生了。

世界系從《新世紀福音戰士》開始，到《涼宮春日》之後的逐漸式微，也恰好對應着日本兩次重大震災：1995年的阪神大地震和2011年的東日本大震災。地震敘事帶來的影響，是愈加地確證日常的不可戰勝。「世界系」是末世論最後的餘暉，世界系中的世界既是意義上的現實世界，也是隱喻上的虛擬世界，此在面向世界選擇了逃避，由介入的他者、美少女來拯救世界，而宏大敘事自然地體現在「危機」和「災難」上。並且，自我異化的世界系催生出了《涼宮春日》這樣的作品——保留了世界系該有的設定卻面向日常「妥協」的敘事。

這種式微，用亞文化學者的話便是，「否定世界的終末思想不再存有力量，而我們不能回頭，只能像少女們一直跳下去」，以及「從世界系——物語消費轉向空氣系——數據庫消費」的論斷。「我們不再需要編織一種不在此處的想象力，而需要一種擴展此時此地的想象力」。在這個意義上，彷彿牆所代表的那些社會，家庭和風險被消去了，宏大的文學命題永遠遠離了我們的想象力。

但事實果真如此嗎，我們的想象力真的徹底地面向消費主義，面向無法終結的日常了嗎？這種日常系的作品，如宇野常寬所說的「排他性的決斷主義」是沒有根基的嗎？

世界系式微后，米澤穗信代表的反世界系以一種近乎懷着惡意般的手段，將個人重新拉回社會的現實中，重新賦予了個人絕對的無力感。但是對抗世界系真的要上升到否定我與世界的聯繫這個層面嗎？後世界系不可避免地滑向了世界系的範疇，因之並非如米澤所想，世界系僅僅是誇大世界與個人聯繫的幻想。不斷前進的世界系，諸如新海誠，開始重新引入被忽視的那些「中層」元素。因此從某種意義上，京都改編的《冰菓》那削弱的惡意和添加的光輝要切實的多，

被資本化的個人奮鬥神話，在被懷疑，解構，消弭之後，以一種全新的面貌展現在了我們眼前，那就是，將文化的多元作為理所當然的存在，並以此確立個人的地位。在這之中的世界系顯然是難能可貴的存在，自我進化的世界系作品逐漸引入那些之前被忽視的元素，社會，家族和權力，用現實性的意象壓制個人的能力和躍起精神，並映射到了小世界敘事的結構里，成了典型的「問題」和「危機」。在這個層面上，世界系又成了一種形式化的東西，無論結局的好壞，成功與否，世界系的本質沒有發生絲毫改變。

無論人勝利與否，文學敘事的命題已經被象徵地呈現給我們了，雖然減弱了不少，但依然存在。

世界系向日常系的過渡，的確是一個面向消費世界妥協的方向，但絕非意味着我們的想象力徹底破產，也絕非意味着我們的敘事完全地後現代化。奇迹是可以被日常化的，宏大的論題無需宏大的敘事，我們的文學在未來，在這樣的打擊下，依然有可能催生出美麗的存在物。

最後，筆者想來考察一個有趣的例子——視覺小說《素晴日》。我想很少有人會認為《素晴日》是世界系的作品。接下來，筆者試着研究和論述該作中世界系的精神遺產和其對文學命題的繼承和再現。

我的極限即世界的極限。素晴日的邏輯內核來自 SCA-自 對維特根斯坦的自我詮釋，這種意味在終之空-II的結局中被展露無遺，雖然也有對1999年的作品《終之空》的再解釋，偏在轉生，僅有一個靈魂的世界……

《素晴日》的序章很怪異地被放置在了哪兒，清新地不像全作的基調，如果結合我們所了解的「永無止境的日常」這樣的概念，似乎就能揭示一點作者的用意所在。在第二章中，卓司發表的一系列宣言都指向了撕碎這虛構日常的願望，指向這撕碎意識形態強加給我們的敘事的願望，再加之宗教色彩下的集體自殺事件，使得素晴日的第二章很容易讓我們想起奧姆真理教事件。

我們的腦袋，已被公共教育和大眾傳媒灌輸了許多禁忌，其中最大的禁忌，便是思考死亡！我們放棄了對死亡的思考！我們的行為被強制、被約束、裝得好像這日常生活會永遠持續一樣。若問為何，因為在死亡的蠻橫面前，一切都是無理的、是無意義的。

死亡，自我毀滅，終之空成了卓司建構這個宗教性神話的基礎。末世論，世界系的元素在這裡得到了充分的展現，再加之結局皆守說出的「時代的閉塞感」，卓司的意圖就更加鮮明了。平庸的人生是生活在後現代的人們所不能容忍，卻又必須忍受的高牆，推倒這堵高牆就成了從八十年代以降我們的敘事一直致力於尋找的點。

當然如果只是認為卓司的重構和解釋構成了選擇和方法，那是絕對不夠的。SCA-自在全篇都戲謔性地在展現神的無力，神的不在場。卓司眼中的天父，柘榴相信的前世和拯救世界的責任，這些世界系的元素被作者逐一分解，批判。這些自我意識中的狂氣和信仰被作者用校園欺凌等現實打碎，嘲弄，甚至讓超驗的存在音無彩名在第三章直接干涉故事，暗示這條路線並不通向正確解答。

人啊，幸福地活下去吧！如果沒有之前的建構，SCA-自 就無法點出這真正想說的一點，皆守的自我拯救並非是通過一種外部的超自然力量介入，而是純粹人性的。拋棄了神明，拋棄了無盡的虛假日常，皆守完成了對這個小型世界的救贖。

我們，唯有活在當下……我們的痛苦正是，現在存在於此處的我們的痛苦。

活在當下，活在自我奮鬥得到的美好的每一天內，這種哲學論述，說明了 SCA-自 的真正主旨更偏向於海德格爾所說的「此在屹立在大地上」的意境和尼採的理論。

本文絕非技巧性地研究山田尚子等導演形式藝術的文章。由於筆者對電影理論和形式藝術的粗淺理解，本文明顯地更偏向文學批評的角度。如果要解讀山田尚子的鏡頭，此文是更好的參考。同時，對山田尚子作品中母題的研究，我很推薦山田尚子——站在宇宙的入口。

對於素晴日的解讀，有很多比我有深度的多的文章，我很推薦性別視角下的素晴日系列和此岸的烏托邦。

然而本文依然留有許多遺憾，一方面是，諸如《聲之形》和《涼宮春日》等作品沒有得到有深度的解讀，特別是後者，出於個人偏愛，我真想再多說點。另一方面，本文沒能夠從更多角度分析小世界敘事的結構和特點，期待能在之後作進一步的回答。

我沒有給出小型世界敘事的概括性描述，包括模式，特徵和分析的方法論。這種敘事方式並不是被大家所廣泛認同的存在，而我亦非能夠非常專業地給出這些理論元素的作者，因此，我並不推薦用本文的觀點去普遍地分析動畫作品。

本文真正想要訴說的大概體現在了第三節的引文中（說是引文實際上是自己的話x），也即：我們的文學沒有失去力量，創作者的美好就如同青春一般能永遠留存在我們心中。這絕不是應該感傷的，而是應該相信的事。特別是在經歷了這一年來如此之多不愉快的事件之後，我們的道路被霧氣遮罩，一片迷茫之時，至少請相信想象力，我們的時代依然美麗。同時，由於現存的大量亞文化研究和論述仍集中在10年前的作品，而對10年後的作品總覽性的研究甚少，這也是我查找資料的過程中發出的感慨，希望更多愛好者，有心之人能夠試着去關注被認為是「萌豚」的作品背後可能具有的意義。

本文引述了許多宇野常寬的論點，希望未來能有國內的譯介者多多關注這位評論家。

本文出自一個粳米的手下，其中對京都動畫可能過度包容，有失公正。