拉格朗日量 [lagrangian]

我們現在已經有了一個限製條件——狹義相對論，但這個條件還不足以使我們推導出描述自然的等式，或者說，在數學上方程的條件還不夠充分。我們接下來就來講講另一個限製條件，其中體現的優美性和哲學思辨貫穿了整個科學史。

盡管牛頓力學之後的兩百年內，物理學史都是在給這個系統做註腳，但這些註腳最終卻成為了新系統的奠基石。而其中尤為重要的，便是由拉格朗日(Lagrange)和哈密爾頓(Hamilton)共同完善的分析力學。

面對工業革命的浪潮，人們發現自己越來越需要面對機器運動等極其復雜的計算，建立在笛卡爾坐標系上的牛頓力學計算已經不夠用了，分析需要擺脫特定的坐標系。

我們有以下公理：

「最小作用量原理」：定義作用量為$S$，運動路徑為$x(t)$，自然界中所有運動（變化）的正確路徑都使得作用量最小，即$S[x(t)]$最小。

這條原理的發現有著悠長的歷史，它似乎暗示著自然界是可以被精巧的數學原理構建的，這樣的思想也被許多人作為上帝存在的證據。早在17世紀，費馬(Fermat)就發現了光線總是沿著耗時最小的路徑傳播，這裏的作用量就是時間（當然這個說法並不準確），經過萊布尼茨(Leibniz)，莫佩爾蒂(Maupertius)和歐拉(Euler)等人的發展和作用量概念的提出，它由哈密爾頓最終完善和公理化。

接下來，我們來看看如何從拉格朗日力學重新演繹牛頓力學。

我們定義一個拉格朗日量$\mathcal{L}(x, \dot{x}, t)$，使得$\mathcal{L} = \frac{dS}{dt}$，即作用量關於時間的微分，則有$S[x(t)] = \int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$，力學的目標，就是求出正確路徑$x(t)$使得$S$最小（即取得極值）。這個問題在當時是很艱難的，直到變分法的開拓，尤其是偉大的歐拉和拉格朗日的共同工作，才使得計算這些方程成為可能。我們現在暫且把這放到一邊。

我們有歐拉-拉格朗日方程（推導過程見附錄）

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}) = 0$$

設拉格朗日量 $$\mathcal{L} = E_k - E_p = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)$$即系統動能與勢能之差，代入上式得

$$-\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d(m\dot{x})}{dt} = m\ddot{x}$$

其中$\dot{x}$作為位置的一階導數便是速度，而$\ddot{x}$作為二階導數便是加速度。上式也是我們熟悉的牛頓第二定律方程。

拉格朗日力學的作用量采用能量的表示形式，獨立於任何坐標表示，也使得它相較於經典力學更加優越。如果將一般的坐標概念進行推廣（我們在上一節也采取了這樣的思想），設一般形式的拉格朗日量$\mathcal{L}(q_1, q_2, q_3, ... , q_s, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \dot{q}_3, ... , \dot{q}_s, t)$，並設$p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}$為「廣義動量」（正則動量），我們只需要將該拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程，就能求出一般系統的動力方程。另外地，我們會將 $$\mathcal{H} = p\dot{q} - \mathcal{L}$$ 稱為哈密爾頓量，如果采用 $$\mathcal{L} = E_k - E_p$$ 計算可得 $$\mathcal{H} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + V(x)$$這也就是整個系統的能量。

運用洛倫茲變換的對稱性（實際上為龐加萊(Poincare)群，我們將會在之後講到）和拉格朗日量，我們就能夠推導出整個經典力學，電動力學乃至量子力學和場論，無數天才的優美方程都將是這個方法論下的 Special Case。