時空 [spacetimes]

世界每時每刻都處於變化和運動中，無數物質組成一個極端復雜的巨大系統，而物理學一直以來的目標，就是在這種復雜性中嘗試找出最核心的規律，使之能在廣闊的時空中普遍地得證正確性。因此，通向現代物理的第一扇大門，便是如何看待時空本身。

1887年，抱著證明以太存在的想法，邁克爾遜(Michelson)和莫雷(Morley)嘗試使用實驗測量以太對光速的影響，但沒有獲得預期結果。在傳統力學環境下，不同參考系的光速可變似乎是合理的，而光速可變勢必證明了傳播光，乃至電磁活動的介質存在。不過，他們的實驗數據啟發了洛倫茲(Lorentz)在1904年使用洛倫茲變換解釋該結果，使用以下公式：

$$L = L_{0} \sqrt{1 -\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

這種嘗試又幫助了愛因斯坦(Einstein)在1905年使用兩條基本假設建立狹義相對論，它們是：

1. 「光速不變性原理」：在所有參考系中，光速是一個確定的常數$c$。
2. 「相對性原理」：所有參考系都有相同的物理定理形式，這也是伽利略(Galileo)在經典力學得出的結論的推廣。

在這兩條原理上建立的物理定律，能夠被地球上，宇宙中任意時間任何角落進行的實驗復現，從而保證了物理學的一致性。

讀者可能已經註意到了我所說的「任意時間」這個措辭，如果按照直覺來理解，參考系顯然是一個關於空間的概念，一直以來，人們都認為時間是獨立於我們生活的三維空間存在的，是「唯一神聖」的東西，這樣的看法也被狹義相對論推翻了。

Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality.
— Hermann Minkowski

設想兩個參考系$F_1$和$F_2$，他們相對之間有$v$的均勻速度，參考系$F_1$中的一個人往自己正上方的天花板（雖然是在真空）發送了一束激光，嘗試測量激光反射回來所用的時間。如果他的中學物理課不是體育課的話，顯然可以省去測量這一步，我們知道，光在這個觀測者測量下所需時間是 。同樣的，我們相對$F_2$靜止的一個觀測者，也看到了第一個觀測者射出的激光，他也很好奇，光反射回地面需要的時間是多少？

我們將$F_2$看到激光射出的瞬間稱為事件$A$，將$F_2$看到激光回到地面的瞬間稱為事件$B$，顯然，對於不同的觀察者，這段區間內的光線運動軌跡是不一樣的，這些軌跡反應到直角坐標系$x-t$上的結果，就是「世界線」。對於$F_2$，他看到的光線與地面構成了等腰三角形，如果在這段時間內他在地面上移動了（當然也可能是$F_1$在運動，我們為了方便，采用$F_1$的視角） 的距離，我們就有 $$\Delta t' = \frac{2\sqrt{L^2 + (\frac{\Delta x'}{2})^2}}{c}$$ 整理得 $$(c\Delta t')^2 - (\Delta x')^2 = (c\Delta t_p)^2 = 4L^2$$

推廣到參考系在三維坐標系中的運動，由於 $$(\Delta x_p)^2 = (\Delta y_p)^2 = (\Delta z_p)^2 = 0$$ 我們就推出了一個重要的公式，對任意參考系，我們有：

$$(c\Delta t_1)^2 - (\Delta x_1)^2 - (\Delta y_1)^2 - (\Delta z_1)^2 = (c\Delta t_2)^2 - (\Delta x_2)^2 - (\Delta y_2)^2 - (\Delta z_2)^2$$

這說明了不同參考系對同一事件「感受」到的時間是不一樣的，我們把這個不變量記為$(\Delta s)^2$。盡管現實世界中大部分情況都不是勻速的，我們可以對整個式子取微分，使之仍然成立。

現在，讓我們稍微加加速，將以上的等式改記成

$$ds^2 = \begin{pmatrix} dx_0 & dx_1 & dx_2 & dx_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} = dx_{\mu}\eta^{\mu\nu}dx_{\nu}$$

這一開始看起來非常復雜，但我們只需要如此理解：如果將時空事件在某一參考系中的坐標看作一個連續的四維向量$dx_{\mu}$，那麼衡量事件之間正確交互（比如標量積）的尺度，就可以用一個矩陣$\eta = diag(1, -1, -1, -1)$來表示，這個對角陣被稱為閔可夫斯基(Minkowski)度規。

這樣形式化給我們帶來的一個便利是，我們可以用矩陣運算來表示時空變換了。現在既然我們已經有了一個不變量$ds^2$，下一步要考慮的就是，對時空坐標怎樣的變化可以保證$ds^2$不變，即經過

$$dx_{\mu} \to dx'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\sigma}dx_{\sigma}$$

我們有

$$ds'^2 = dx'_{\mu}\eta^{\mu\nu}dx'_{\nu} = \Lambda_{\mu}^{\sigma}dx_{\mu}\eta^{\mu\nu}\Lambda_{\nu}^{\gamma}dx_{\gamma} = dx_{\mu}\eta^{\mu\nu}dx_{\nu}$$

解得

$$\Lambda_{\sigma}^{\mu}\eta^{\sigma\gamma}\Lambda_{\gamma}^{\nu} = \eta^{\mu\nu}$$

或者記作

$$\Lambda^T\eta\Lambda = \eta$$

這便是洛倫茲變換所需要滿足的條件。將原本洛倫茲推得的變換公式改寫成四維形式（為了簡單起見，僅作一維上的移動）：

$$\begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

其中 $$\beta = \frac{v}{c}, \gamma = (\sqrt{1 - \beta^2})^{-1}$$ 我們可以發現它滿足以上公式。