不變量 [invariance]

平者，水停之盛也，其可以為法也。
—— 《莊子·內篇》

在本系列的第一篇裏，我們介紹了一種改進經典力學的新形式：拉格朗日力學，並提出了作用量的概念。如果我們把這個想法更進一步，考察作用量在變換中的性質，會發現很多有趣的結論。

我們認為在經典力學裏，作用量關於時間的微分為拉格朗日量$\mathcal{L}$，並介紹了它對於速度的微分：廣義動量。這是個比較粗暴的講述，為什麽它被稱為動量呢？

中學裏對動量的定義是$p = mv$，容易看出這就是動能對速度的導數。對於凸函數$T = \frac{mv^2}{2}$，它有以下這個性質：

給定直線族$y=px$，函數$F(p,x) = y - f(x)$在$x=x(p)$時會取得$x$的極值。則$T^*(p) = sup\{F(p,x)\}$被稱為$T$的「勒讓德(Legendre)變換」，這也是原函數的對偶函數（即它們的一階導數互為反函數）。

對動能，我們有$T^*(p) = max\{pv - \frac{mv^2}{2}\}$，$F(p,v)$的極值條件：

$$\frac{\partial F}{\partial v} = p - mv = 0$$

故該斜率即為動量，帶入得對偶函數為：

$$T^*(p) = \frac{p^2}{2m}$$

如果有閑心對該函數再求一次勒讓德變換，可以發現回到了動能式。這個表現的深刻之處在於，它將坐標空間上的對速度的累計動能，成功和相空間上的對動量的累計動能對應了起來（微分幾何上則是切叢和余切叢的關系，在此不作過多表述）。

要考察其在時間變換下的表現，我們對拉格朗日量$\mathcal{L}(q, \dot q, t)$取時間的全微分（乘上虛數單位）：

$$\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q^i} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q^i}$$

帶入歐拉-拉格朗日方程有：

$$\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\dot{q^i})$$

我們很容易看到用動量記號$p^i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}$代換後重定義，原來的拉格朗日量就會轉化成漢密爾頓量$\mathcal{H} = F(p) = p\dot{q} - \mathcal{L}$。它更適合來研究時間變換尺度下的不變性。

要證明作用量在時間變換下的不變，即證明與拉格朗日量對偶的漢密爾頓量，是一個與時間無關的函數，即得出了能量守恒。到了量子力學裏，粒子在場中運動的漢密爾頓方程（E-L 方程的改寫），則是著名的薛定諤方程。

由此推廣地看，不光光是時間變換，平移、旋轉和其他變換都能得到一個自然界固有的不變量，而這也就是下一節所要講述的核心。