JK 也能聽懂的理論物理（三）
這是該系列的第三篇，主要講對稱性和不變量，對微分幾何有一定了解可以更好理解內容，但不是必需。本文要求一定的線性代數基礎。前一篇的鏈接為JK 也能聽懂的理論物理（二）。
對稱群
沒有運動的物理學一定是不完整的物理學，為了能闡述運動，我們需要獨立於特殊對象，建立起一門關於變換和對稱的科學。數學再一次幫助了我們：群，是一個天然適合表述變換的代數結構。從具體的例子說，設想有一種二維旋轉變換，定義向左為 \(L(x)\)，向右為 \(R(x)\)，先後旋轉的組合運算為 \(L(x) \circ R(x)\)，很容易驗證有以下性質：
- 封閉：對任意旋轉 \(g_1, g_2 \in G\), \(g_1 \circ g_2 \in G\)
- 單位元：存在 \(e \in G\)，使得 \(\forall g \in G, g \circ e = e \circ g = g\)
- 逆元：\(\forall g \in G, \exists g^{-1} \in G, g \circ g^{-1} = g^{-1} \circ g = e\)
- 結合律：\(\forall g_1, g_2, g_3 \in G, g_1 \circ (g_2 \circ g_3) = (g_1 \circ g_2) \circ g_3\)
將這個旋轉變換群作用在單位圓上，就會發現經過任意變換後，圓保持不變，這時我們把這個群稱為「對稱群」，這是個十分重要的概念，回想一下洛倫茲變換滿足的矩陣式，事實上，洛倫茲變換對四維的閔可夫斯基度規確實構成了一個對稱群。
以上對旋轉的定義是模糊的，用更精確的矩陣表示這個群，有：
\[R(\theta) = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}\]這個定義被稱為 \(SO(2)\) 群，它不夠直觀，我們需要一個更本質的定義。驗證發現，所有模為1的復數，加上乘法構成了一個群，這被稱為 \(\mathcal{U}(1)\) 群，將上式改寫為：
\[R(\theta) = cos\theta + isin\theta = cos\theta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + sin\theta \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]它對 \(\mathcal{U}(1)\) 群裏的所有元素作用是和 \(SO(2)\) 等效的，可以說，兩個群是「同構」的。
擴展到三維，情況就復雜多了，我們可以看到，繞每一個軸都有與二維類似的旋轉矩陣，它們構成的 \(SO(3)\) 冗長，復雜又不夠優美，繼續我們剛剛的改寫，這次用四元數代替復數：
\[q = cos\theta + usin\theta,\ u = ai + bj + ck,\ det(q) = 1,\\ i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, j = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, k = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}\]這下好看多了，要保證度規不變，我們定義 \(v = xi + yj + zk\)，使得 \(v' = qvq^{-1}\)。這樣，一個 \(S\mathcal{U}(2)\) 群就誕生了，神奇的事情發生了，我們來帶入一個例子：\(x\) 軸單位向量繞 \(z\) 軸旋轉：
\[v' = R_z(\theta)vR_z(\theta)^{-1} \\ = \begin{pmatrix} cos\theta + isin\theta & 0 \\ 0 & cos\theta - isin\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\theta - isin\theta & 0 \\ 0 & cos\theta + isin\theta \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 0 & e^{i2\theta} \\ -e^{-2i\theta} & 0 \end{pmatrix}\]多出來的倍數2是怎麽回事呢？這說明對於一個 \(SO(3)\) 的元素，有兩個 \(S\mathcal{U}(2)\) 元素與它對應，這時我們說 \(S\mathcal{U}(2)\) 「覆蓋」(double-cover)了 \(SO(3)\)。當一個對稱群覆蓋了另一個時，我們在之後可以看到，它是更為本質的。
對於有限的變換，我們使用最基本的矩陣表示已經足夠，但如果涉及到連續的，無窮的變換——物理學大多是這樣的，我們就需要一種新形式：「李群」(Lie Group)。運用微積分裏對連續量的思考，我們相似地定義一個無限小量：
\[g(\epsilon) = I + \epsilon X\]其中 \(I\) 是單位元，由此，任意變換都可以認為是無限小量的無限疊加：
\[h(\theta) = \lim_{N\to\infty}(I + \frac{\theta}{N}X)^{N} = e^{\theta X}\]所有的群元素都由確定的生成元(Generator) \(X\) 構成，因此對於一個李群，只需要確定其生成元和生成元的組合方式（我們一般稱其為交換算子）。這兩樣共同組成的代數結構，就是「李代數」(Lie Algebra)。滿足條件的 \(S\mathcal{U}(2)\) 李群的生成元組被稱為「泡利矩陣」(Pauli Matrices)，它們是：
\[\delta_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\ \delta_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},\ \delta_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]其他所有生成元可以被認為是它們的線性組合。
讀者讀到這裏肯定已經猜出來了，模為 1 的復數在幾何上表示是單位圓，模為 1 的四元數——同樣的，也是一個四維的球 \(S^3\)！有一個優美的定理：每一個李代數，都只有一個簡單連通的李群（流形）與之對應。如此，我們也可以把 \(SO(3)\) 看作是 \(S\mathcal{U}(2)\) 的上半部分。
龐加萊群
我們最後要做的工作是，將抽象的對稱群，利用表示論的知識重新轉換到向量空間上。不言而喻，從抽象群到向量空間 \(V\) 的轉換必須符合群公理，在這一基礎上，一個非平凡的表示還必須「不可約」，即該表示保證了不存在一個封閉的 \(V\) 的子空間。由是利用舒爾引理：
對一個不可約表示 \(R\)，每一個與所有生成元滿足交換律的線性算子 \(T\) 都是標量。
我們找到了 \(S\mathcal{U}(2)\) 的線性算子 \(J^2 = J_1^2 + J_2^2 + J_3^2 = 2\)，其中只有 \(J_3\) 是對角化的：
\[J_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]將它們改寫成特征值表示：
\[J^2 = b(b, m) \\ J_3 = m(b, m)\]定義兩個操作符：
\[J_\pm = J_1 \pm iJ_2\]有趣的是，對任意的 \(J_3\) 進行這兩個操作符的運算，都會得到新的不同維度的 \(J_3\)，因此它們也被稱為梯子操作符，根據 \(S\mathcal{U}(2)\) 群原本的條件列出方程，我們可以看到這些特征值的取值是離散的。
我們知道，所有使得閔可夫斯基度規不發生改變的變換被稱為洛倫茲變換，根據行列式和第一個元素的正負，它們可以被分為四類。用逆時矩陣 \(\Lambda_T\) 和逆空間矩陣 \(\Lambda_P\)，我們將洛倫茲群歸為第一種的不同變換（讀者可以自行思考這兩個矩陣的表示）：
\[O(1, 3) = \{L_+^{\uparrow}, \Lambda_P L_+^{\uparrow}. \Lambda_T L_+^{\uparrow}, \Lambda_P \Lambda_T L_+^{\uparrow}\}\]以上知識已經足夠我們得出洛倫茲群的李代數，篇幅限製，我們直接給出結果：容易驗證旋轉變換 \(S\mathcal{U}(2)\) 是滿足洛倫茲變換的條件的，另一「加速變換」(Boost)則通過閔可夫斯基度規的要求 \(\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\) 得出，這兩個變換並不滿足生成元的交換條件，因此將它們合並為：
\[N^\pm_i = \frac{1}{2}(J_i \pm iK_i)\]加速變換 \(K_i\) 和旋轉變換 \(J_i\) 之間的交換關系與旋轉變換本身是一樣的，所以洛倫茲群也覆蓋了 \(S\mathcal{U}(2)\) 群。對 \(N^+\) 和 \(N^-\) 分別賦值泡利矩陣（還記得它是 \(S\mathcal{U}(2)\) 的生成元嗎），我們得到了三種表示：
- \((0 ,0)\) 表示，即零自旋表示，用來描述標量粒子，如希格斯玻色子。
- \((\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})\) 表示，用來描述旋量粒子，如電子和誇克。
- \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) 表示，用於描述向量粒子，如光子。
從變換的對稱性，我們窺見了自然精妙的設計，「自旋」這一基本量的不同，確確實實地描述了所有基本粒子。
最後，給洛倫茲群加上坐標尺度的「平移變換」(Translation)，我們得到了龐加萊群，這已經足夠描述光速不變原理下的所有物理定律。
不變量
平者，水停之盛也，其可以為法也。
—— 《莊子·內篇》
在本系列的第一篇裏，我們介紹了一種改進經典力學的新形式：拉格朗日力學，並提出了作用量的概念。如果我們把這個想法更進一步，考察作用量在變換中的性質，會發現很多有趣的結論。
我們認為在經典力學裏，作用量關於時間的微分為拉格朗日量 \(\mathcal{L}\)，並介紹了它對於速度的微分：廣義動量。這是個比較粗暴的講述，為什麽它被稱為動量呢？
中學裏對動量的定義是 \(p = mv\)，容易看出這就是動能對速度的導數。對於凸函數 \(T = \frac{mv^2}{2}\)，它有以下這個性質：
給定直線族 \(y=px\)，函數 \(F(p,x) = y - f(x)\) 在 \(x=x(p)\) 時會取得 \(x\) 的極值。則 \(T^*(p) = sup\{F(p,x)\}\) 被稱為 \(T\) 的「勒讓德(Legendre)變換」，這也是原函數的對偶函數（即它們的一階導數互為反函數）。
對動能，我們有 \(T^*(p) = max\{pv - \frac{mv^2}{2}\}\)，\(F(p,v)\) 的極值條件：
\[\frac{\partial F}{\partial v} = p - mv = 0\]故該斜率即為動量，帶入得對偶函數為：
\[T^*(p) = \frac{p^2}{2m}\]如果有閑心對該函數再求一次勒讓德變換，可以發現回到了動能式。這個表現的深刻之處在於，它將坐標空間上的對速度的累計動能，成功和相空間上的對動量的累計動能對應了起來（微分幾何上則是切叢和余切叢的關系，在此不作過多表述）。
要考察其在時間變換下的表現，我們對拉格朗日量 \(\mathcal{L}(q, \dot q, t)\) 取時間的全微分（乘上虛數單位）：
\[\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\dot{q^i} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\ddot{q^i}\]帶入歐拉-拉格朗日方程有：
\[\frac{d\mathcal{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\dot{q^i})\]我們很容易看到用動量記號 \(p^i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_i}}\) 代換後重定義，原來的拉格朗日量就會轉化成漢密爾頓量 \(\mathcal{H} = F(p) = p\dot{q} - \mathcal{L}\)。它更適合來研究時間變換尺度下的不變性。
要證明作用量在時間變換下的不變，即證明與拉格朗日量對偶的漢密爾頓量，是一個與時間無關的函數，即得出了能量守恒。到了量子力學裏，粒子在場中運動的漢密爾頓方程（E-L 方程的改寫），則是著名的薛定諤方程。
由此推廣地看，不光光是時間變換，平移、旋轉和其他變換都能得到一個自然界固有的不變量，而這也就是下一節所要講述的核心。
諾特定理
諾特定理本質上是個微分幾何領域的定理，但從前幾節我們已經或多或少感受出了運動系統和幾何流形之間的關系。偉大的發現往往把看似矛盾的事物聯系在了一起，這條理論物理的中心結論之一就是這樣，它從連續的對稱中發現了一種守恒的關系。
證明這個定理的方法有許多種，但第一步是要形式化它。如果只是說「任意變換對稱性都有一個對應的守恒量」，是不準確的。我們說這句話省略了很多的前提。
延續上一節的框架，我們定義在拉格朗日量 \(\mathcal{L}(q, t)\) 下，系統的微分增長為 \(\mathcal{L}(q + \delta_q, t + \delta_t)\)，我們認為系統作用量此時具有對稱性，當且僅當 \(\delta_S = S(q') - S(q) = 0\)。當我們將微分增長用無窮小量表示：
\[q' = q + \delta_q = q + \epsilon \Delta q \\ t' = t + \delta_t = t + \epsilon \Delta t\]當且僅當 \(\epsilon\) 為一趨近於 0 的常量時成立，這時我們稱這系統具有「連續的全局對稱性」。同時，在這個範疇下我們需要一個確定的運動方程（比如 E-L 方程）來完成對稱性和守恒量之間的對應，也即該守恒量是「在殼」(on shell)的。
如此諾特定理的準確表述是：一個離殼的連續全局對稱性具有一個在殼的守恒量 \(I = p\Delta q - \mathcal{L}\) 與之對應。
回到第一節介紹的李代數，我有意略去了交換算子的介紹，在這裏，我們將詳細地說明。一個交換算子（李括號）是一種運算，它滿足下列三條規則：
- 雙線性：\([X, aY + bZ] = a[X, Y] + b[X, Z]\)
- 反對稱：\([X, Y] = -[Y, X]\)
- 雅可比恒等性：\([X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0\)
在李代數對應的李群 \(G\) 上定義一組映射 \(F_t^a : G \to G\)，使得它遵守 \(\frac{d}{dt} F_t^a(b) = [a, F_t^a(b)]\)。顯然這組映射就是作用在 \(G\) 上的變換。我們可以驗證它很好地滿足了群公理。
對於變換滿足的條件 \(F_t^a(b) = b\)，我們說 \(a\) 產生了連續的全局對稱性，同時，\(b\) 也自然是一個守恒量，現在我們要證明， \(b\) 對該系統也具有連續的全局對稱性，即 \(F_t^b(a) = a\)。
對等式取微分即：
\[\frac{d}{dt}F_t^a(b) = [a, F_t^a(b)] = 0\]在不變換的情況下，即使 \(t = 0\) 得：
\[[a, F_0^a(b)] = [a, b] = -[b, a] = 0\]即 \(F_t^b(a) = a\) 證畢。諾特定理成立。
下一篇中，我們將說說如何從量子場論的角度，討論對稱性是如何描述標準模型的，同時，又有哪些不變量可以被實驗證實。當然，物理學遠遠沒有達到盡頭，由此延伸出的更多問題，我也會做出評論，敬請期待。
附：艾米·諾特的生平
Her courage, her frankness, her unconcern about her own fate, her conciliatory spirit were, in the midst of all the hatred and meanness, despair and sorrow surrounding us, a moral solac.
— Hermann Weyl
艾米·諾特(Emmy Noether)出生於巴伐利亞州一個普通的中產猶太家庭。1900年，18歲的諾特從一所中學畢業，並獲得教師資格，在當時，富有的中產小姐在中學教授英語和法語被認為是一項體面的工作，但諾特卻放棄了這個機會，她決定就讀埃爾朗根大學。
諾特一開始被允許旁聽數學系的課程，1904年正式成為學生。在哥爾丹的指導下，她花費三年時間獲得了博士學位，研究方向是代數不變量。她計算出了三百多個不變量，並在數學界獲得了良好的反響，盡管在之後，她並不滿意自己的成果，認為它們是毫無意義的。
諾特隨後在母校無償教授了七年的數學。1915年，受希爾伯特的邀請來到哥廷根。按照普魯士法律，女性並不能獲得教職，面對諸多質疑，希爾伯特做出了著名的回擊：「我們畢竟是一所大學，而不是一間澡堂。」在這段時間裏，諾特證明了關於守恒量的定理，並由克萊因代為在皇家科學院發表。
1918年，看到諾特研究的愛因斯坦寫信給克萊因：「在閱讀了諾特小姐的研究後，我再次為她沒有教職而感到不公。」在希爾伯特的名義下開設講座四年後，諾特終於獲得了一個依然無薪的教職，可以自己教授學生。一戰以後的飛速通貨膨脹讓她的生活十分艱難，但她並不在乎這點。
諾特在隨後的十三年中對純粹數學做出了巨大貢獻，她對環的理想做出了準確定義，並在1928年看到了交換代數和拓撲學之間深刻的聯系，因此被認為是代數拓撲的奠基人之一。她喜歡在授課時與學生討論，許多重要發現也是因此做出的。
1933年，諾特由於猶太人身份被哥廷根解雇，在她曾經門生韋伯的鼓吹下，學生們開始向校內「反德意誌精神」勢力發起攻擊，哥廷根大學的數學中心地位自此失去，希爾伯特在面對納粹教育委員會提問時回答：「哥廷根的數學？再也沒有了。」
諾特在美國一所女子學院度過了生命中最後兩年，1935年，她在治療卵巢囊腫的術後感染中去世。她被認為是二十世紀最為重要的數學家之一。如同許多同時代的女性一樣，她用天賦、熱情和創造力向我們證明了，真理永遠獨立於身份之外。
參考資料
- J. Schwichtenberg, Physics from Symmetry(2nd Edition), Springer, 2018.
- J. Baez, Getting to the Bottom of Noethers Theorem, 2018.
- D. Stretch, Emmy Noether: Against the odds, 2000.
- Many entries on Wikipedia.