Many conjectures in graph theory remain open due to the hardness of giving an explicit proof, but they are also easy to be disproven by only a constructive example.
Inspired by an interesting paper on combinatorics in 2021, we have set up an environment of reinforcement learning to “attack” these problems, for example, some conjectures about Randić index and other graph invariants.
During the game play we have encountered many issues of the framework, though our initial goal is a handy tool regarding graphs, the bigger picture of a new way of problem solving in mathematics is noteworthy.
Our model is able to find best patterns under certain constraints with the help of reinforcement learning, after more iterations the agent tends to generate graphs that will get higher scores. This is, however, not so easy for mathematicians, when they struggle to get new intuition on certain problems. More concretely, as a combination of generation and validation, some certain patterns of graphs will be selected and mathematicians can use them to formulate a proof or new conjectures based on the old one.
This process, described in a paper on nature, is called “guiding human intuition with AI”. Our framework, following this way of thinking, is shown via this Flowchart:
Some tools like AutoGraphiX also try to automate some parts of this process. In particular, AutoGraphiX analyzes the raw data from generation and formalizes a conjecture. However, our new powerful machine learning tools make things more universal and thus these old day tries can be rewritten in some python libraries and injected into the human-AI-human workflow.
We show an example of settings:
Given the conjecture:
For any connected graph on \(n \ge 3\) vertices with Randic index \(Ra\) and diameter \(D\), we have:
\(Ra - D \ge \sqrt{2} - \frac{n + 1}{2}\).
The related reward function is:
def conjecture2(actions):
graph = nx.Graph(actions_to_adj(actions))
if not nx.is_connected(graph):
return 0
D = nx.diameter(graph)
return 10-(Randic_index(actions_to_adj(actions))-D- np.sqrt(2)+ (N+1)/2)
We have partially checked some conjectures from Chemical Graph Theory, especially on Randić index and come to the conclusion that in small sizes(\(n \le 20\)) the graph generation indeed converges to optimal patterns mentioned in the paper. Although we failed to find a counterexample due to the limitation of computational ability, we sure have worked out a robust solution to embed these conjectures into the schema of machine learning.
A small but interesting application of this model may be in the sudoku game, which is equivalent to some certain graph coloring problems. The model succeeds in going into the proper direction of solutions with the proper action encoding and loss function. That is to say, given a blank board, the model will try to find a suitable coloring to match all constraints of the problem, and if a suitable encoding of a game is provided, the agent will also adjust itself to learn from these initial states and output a correct answer.
We have also dived into the combinatorial problems in the original paper and discovered similar results, almost all converge actually very quickly to the mentioned patterns(some to local extrema though), which is a good support of the correctness.
One problem we encountered with our model was the convergence to local minima. In this Chapter we will delve into this issue.
The problem of convergence arises when the ML model, specifically a neural network in this context, learns from the best-generated graphs repeatedly. In many cases, these generated graphs share the same or very similar structures. Consequently, when the learning process is iterated multiple times, the model tends to converge to local minima, getting stuck in a specific solution instead of exploring the broader solution space.
In the context of novelty search, the model prioritizes the generation of diverse and novel solutions over solely focusing on the best-performing graphs. The model is encouraged to explore different avenues and embrace novel structures that might lead to better outcomes.
To achieve this, a factor is introduced into the reward function that measures the distance or dissimilarity of the generated graphs from the already found optimum.
However, the main difficulty lies in finding an appropriate similarity measure. Firstly, what does similarity of graphs mean? And secondly, this measure should strike a balance between being general enough to cover a wide range of graph structures and being specific enough to capture relevant information related to the conjecture being addressed.
The best choice would be a graph isomorphism measure. Unfortunately, these isomorphisms are too computationally expensive making this measure infeasible.
We tried a linear combination of common graph metrics like girth, diameter and maximum/minimum degree together with a conjecture specific factor. Choosing these constants wasn’t clear and was usually a trial-and-error process. If not configured correctly either a complete or an empty graph were learned.
The following code defines a similarity measure:
def reward(A, currentBest):
"""" A is given as an np adjacency matrix
Returns reward for given Matrix A
"""
return globals()[f"reward_c{conjecture_number}"](A) + 0.132 * similarity(A, currentBest)
The major issue with this entire approach of adding a novelty score to the score of the conjecture is the trade-off. It is not at all clear how to choose it, because depending on the constants of the linear combination, we either had too much weighting of the similarity measure or the conjecture score. This led to the convergence to a completely irrelevant extremum of the adjusted reward or an unchanged convergence.
Figure 1: Convergence of scores using similarity to single best
Next Steps:
Clustering is another powerful technique to tackle the convergence problem. The idea behind clustering is to train multiple agents on different seeds (random initializations) and allow them to learn independently. Each agent explores a unique portion of the solution space, which often results in diverse performance levels among them.
Procedure:
Figure 2: Training of different Agents
With this approach we have a different starting position for each agent, which means that each agent is more likely to generate a graph similar to the ones in the cluster it is based on. This “likeliness” depends on the number of iterations the agent has been trained on.
Results:
As apparent in Figure 3, the different agents often converge to the same local optima, but there is often only one or a few agents which converge to the best graph. Oftentimes this will eventually be achieved by the other agents. However, this might take considerably more time.
Thus, we think that clustering could help speed up the learning process.
Next Steps:
Being a reinforcement learning algorithm, it it crucial to generate a vast number of graphs each iteration to ensure enough good results to learn from. Successful use of the algorithm results being very computationally expensive and might, on personal computers, require several hours to approach a result.
Figure 3: Computational speed distribution of an iteration
In Figure 3 we see the shares of the total runtime the respective parts of the program claim for one iteration. Here, the algorithm was used to generate 5000 graphs with 17 nodes per iteration, which is a realistic setup for many different problems. The graphs are then scored based on a combination of diameter and Randić index.
As can be seen, the computational bottleneck is not the training of the net, but surprisingly the generation of graphs and their subsequent scoring. While the complexity of the sampling part of the algorithm depends solely on the graph sizes and number of graphs per iteration, the computational complexity of the scoring function might vary strongly when comparing the different theorems one can approach with this method. Sometimes, acceleration of this part is not possible due to lack of quick calculation methods for special constants. For Figure 3 a score function of roughly intermediate runtime among problems of chemical graph theory was chosen. The slow speed of roughly 30% of the runtime results from the need to score each graph individually.
The time it takes to sample out the probability distribution given by the neural network however amounts to roughly half of each iteration, as every graph has to be sampled out independently and step by step. Speedups can be attained for example by Just-In-Time compilation with Numba. The sampling task is also highly parallelizable and optimal for GPU computation, whereas Figure 3 shows the runtime of a fully sequential calculation.
It should be noted that the generation of the probability distribution as well as the sampling scale linearly with both graph size and number of graphs per iteration, whereas the other parts show a quadratic behavior or higher.
We have considered the general setting of solving conjectures on graphs. Under the initial goal we developed a reinforcement learning model and analyzed issues that cause the wrong output or make the program under the performance.
We hope this report can give readers some impressions on how neural networks can empower the symbolic AI and help mathematicians skip some annoying trivial jobs, as well as obtain solutions in a way that would otherwise go against human intuition.
]]>今天的我們會自然地使用各種設備上的中文輸入法,隨心所欲地運用拼音,注音或是五筆等標記方式表達漢語句子。這種便利性的理所當然,往往會讓我們忽視漢語融入現代信息技術過程中的無數艱辛不易。
信息技術的含義在世界範圍內並不具有普遍性,而互聯網的承諾願景可能永遠不會到來。今天的我們越來越認識到,作為現代文明基石的電訊技術,在傳播過程中必須與本土的語言、文化乃至政治語境協商,變化甚至對其妥協。這樣的過程是無法與血淋淋的經濟殖民效率相提並論的。西非的孩子接受信息技術教育同時,也必須潛意識地將學習法文和英文作為前置條件,這種隱形的文化不平等不斷加劇,表現在了諸如精英階層的西化和流失。儘管如此,班圖語族也在接受拉丁字母的文化殖民中得以保存,在條件更為良好的東亞,獨特的漢語文字在衝擊下屹立不倒,則更令人欣慰。
我們言說他者的技術史,並不是出於博物館藏式的獵奇心理,將異質的歷事看似包容地接納,實則緩慢地抹滅,而是為了將這種他樣的生活引入理所當然的日常,進而解構地重新審視均質化現代的殘酷。
我們在計算機上的輸入行為,和對前信息時代的工業出版的想象之間,被非常典型地割裂了。在歷史教科書中被介紹而熟知的活字印刷,又是如何演變為與標準 QWERTY 鍵盤相容的輸入法的?試着回想你腦海中打字機的印象,那一定是一個標準鍵盤佈局,充滿機械感地印製拉丁字母的造物。
在使用字母文字的文明中,擴展和改造美國人發明的打字機並不是一件困難的事情。德國人新加入四個字母,並固定直至如今的德語鍵盤佈局。聰明的工程師將列印杆(typebar)的方向加以調整,成功為書寫順序相反的希伯來語以及阿拉伯語帶來了信息時代的先聲。當然這種擴張也不得不遇到削足適履的境況。暹羅人為了能保留雙排打字機的結構,放棄了兩個字母,而它們也漸漸退出了書面語。
這樣的改造在遇到中文時完全束手無策了。可以說,當時的「現代」文明堅信着這種不相容是落後的體現。在達爾文主義盛行的年代,語言學家宣稱漢語處於象形文字和拼音文字間的未成熟期,激進的新文化運動知識分子,興致高揚地討論漢語拉丁化的方案。
但是實際的傳播需求無法等待拉丁漢語的普及,在商務印書館的資助下,1926年問世的「舒式」打字機拋棄了鍵盤的設計,採用按壓式字模排布。這種誇張的樣式頻頻登上美國雜誌的諷刺漫畫專欄。但最終,「舒式」打字機獲得了市場認可,並不斷在便利性上得到改進。
受到統計語言學的啓發,字模的數量被壓縮至近三千個常用漢字的範圍內,而很多生僻的漢字也可以通過部首的組合被印刷出來。在之後被廣泛使用的「萬能」和「雙鴿」牌,都沒有脫離這個基本設計思路。
有趣的是,打字員的熟練程度在中文輸入中顯得更為重要。除了在數量上壓縮選字的耗時,聰明的打字員重新排布字模的順序,將常用的詞語放在相近的位置,大大提升了打字效率。例如在新中國早期,熟練的打字員也作為光榮的勞動模範得到宣傳和表彰,他們的排布經驗,在某種程度上反映了當時的語言使用情況和意識形態。
這種做法的創新之處在於,它提供了一個深入研究人機交互的視點,通過將規則性的語素加以組合,我們昭示了一種機器主動「學習」的可能,我們如今的許多輸入法,也帶有了根據個人詞頻重新排列的選字功能。而讓我們把時間倒回四十年代,這種人機交互的思想也體現在了林語堂革命性的發明——「明快」打字機上。作為第一款中文電傳打字機,它採用了如今理所當然的編碼技術,將中文對應到數字列表,與之相近的還有同樣磕碰前進的中文電報技術。
更有意思的是,林語堂的打字機將漢字拆解為七十二個偏旁部首,使用者在同時按住兩個偏旁時,一個選字窗口會彈出相應的八至十個漢字供選擇。雖然這樣跨時代的發明沒有得到繼續資助,林語堂本人也因為瀕臨破產而不得不放棄繼續研製生產,但它作為保存漢字和文化遺產的理想,作為他者對殖民文化的融入與反抗,作為堅守符號主權(semiotic sovereignty)的嘗試,或許比起一場失敗的漢語拉丁化鬧劇,更值得被人紀念。
這種技術角度的檢視和思考,有助於我們跳出「語音主義」和「象形文字」的二元對立,在激蕩的一百年後繼續思考規避文化消弭的可能性。同時,人們也能更清楚地認識到,這種掙扎般的努力從未停止,不過從一種危機變成了主動維護的文化意識。
個人計算機發明後,中文編碼的規範化進程從打字機時代的資本與個人推動,變成了一項國家意志為代表的大型工程。我們已經從前信息時代的漢字危機挺過來了,而跨入信息時代的門檻也就相對輕鬆得多了。同時,東亞文字編碼的統一嘗試,和後殖民主義思考下對本土文化的重發掘,一起推動了 Unicode 的出現與普及。
這種自信心還體現在了對「中文編程語言」可能性的討論上。1964年,中科院在對 IBM 大型機彙編語言的簡單模仿和遷移下,開發了 BCY 語言。進入新世紀之後,E語言等本土編程語言的出現,更加推動了計算知識的普及,也為中文在信息基礎架構的構建中爭取了一席之地。
其中尤其引人注目的是來自臺灣的唐鳳在2002年基於 Perl 開發的文言文模塊。她為這個項目寫了一個埃式篩法的示例程序:
use Lingua::Sinica::PerlYuYan;
用籌兮用嚴。井涸兮無礙
。印曰最高矣 又道數然哉。
。截起吾純風 賦小入大合。
。習予吾陣地 並二至純風。
。當起段賦取 加陣地合始。
。陣地賦篩始 繫繫此雜段。
。終陣地兮印 正道次標哉。
。輸空接段點 列終註泰來。
新近基於 Javascript 的 Wenyang Lang 在優美性上與之相比,可以說是小巫見大巫了。
同樣於之現實中漢語保存努力的艱辛嘗試,在理論角度,人類學跳出殖民主義、民族主義和馬克思主義思考框架的可能亦從未停止。庶民的技術史有其獨特的在地性。這種在地性卻往往會因為話語權的缺失受到損害,會因為被強行賦予身份的武斷受到曲解,有時甚至會因為粗暴的歐洲中心主義式解放被完全破壞。被完全國有化和農業機械化前,維持一個共有式平衡的宗族農業。受到代議民主衝擊的種姓制下吠舍等手工藝者,向既得利益的高種姓族羣的職責讓渡。都會在不被注意間抹滅原生的,鮮明的生命體驗。
相應地,一個活生生的例子體現在遊戲開發與策劃中。在英雄主義的電子遊戲劇情脈絡中加入所謂「東方元素」,與為了跟上西方廣告文化而塑造的「打字機女郎」形象沒有多少區別。它們缺失了在全球視野下,對身邊事物的關切式理解。
將東西方簡單對立,只將自我作為現代的滑稽鏡像的思考方式,不僅僅存在於接受了西式教育的本族精英,也體現在歐洲中心式左派的論調上。所謂文化「復興」的目標,產業化的一刀切式推廣,都隱含了一個現代文明作為普世標準的盲信,也常常刻意地忽視了全球性文明間的互相影響和學習。它們「代言」了庶民的生活本身,將這種美麗的歷時性現象符號化為了地緣政治中的鬥爭籌碼。
恰逢勞動節,而書寫這篇文章的另一個特殊意義在於,如何批判性地思考這個紀念馬克思所言的工業勞動者的節日,如何試着將遭到忽視的本土技術演進,在社會流動性之外使用「另一種」方式活着的庶民,以及他們對所謂「傳統」,對現代的貢獻,反抗和融入包括進來。而為了讓他們,讓我們被聽見和看見,一個參與式,直接民主的觀察是不可或缺的。正如斯皮瓦克所言:「向庶民學習,以便設計出一種哲學或教育方法,使得人們在公共事務上能夠養成民主的習慣與機制。」
參考:
書見接下來的系列文章(如果有的話)。
依據 Bangumi 的記錄,上一年共計觀看了 71 部動畫。相比起去年慢了許多,這也說明我確實不是那麼無所事事了(笑。其中值得推薦的有(至少八分及以上):
EVA 新劇場版完結了,此外還在火車上有幸欣賞了高畑勳先生的最後作品《輝夜姬物語》。可以寫的有很多,但由於我的懶惰終究是沒有將這些評論寫下。
和如此之多的事物一併告別,並不是一件容易的事。八月二十八日晚上,我看着空落落的書桌,依舊滿滿當當的書櫃,心裏陡然有些空落落的。就這麼帶着必要之物——兩個大大的行李箱,拖行在深夜的浦東國際機場,那時的上海遠比今日平和,我會一邊想着,「如此也不壞」,一邊留待預演那可能的「更壞」。
飛機開始緩緩降下高度時,我能清晰地分辨出錯落散佈在波羅的海畔的燈光,然後漸次是在平原上逐漸熄滅的城市本身。恰好是日出的時候,晨曦中一路平安地降落在了這片大地的正中心。
這之前,我對歐羅巴有很多被加工過的想像。作為一個在精神上先被「殖民」又自我「後殖民」的年輕人,我也許代表了大陸某個時代最後的餘暉,尤其是驚訝地發現已經幾無法與許多年輕一兩歲的同齡人交流時。而消除這種想像和實際體驗的鴻溝,又可能需要數年乃至數十年,事實是,我已經無法想起去年初來乍到時的心境了,那個被粗暴地拋進來,掙扎着克服異質感的自我。
如是,要概括地講出德國,或者歐羅巴究竟是什麼,並不是一件容易的事。被程序規訓的契約動物?被近一個世紀的「哈貝馬斯」薰陶,又從來無法抹去本質上威權色彩的矛盾體?堅持着文化均一論的讀者必會嗤笑,我們都是現代人,都帶着一樣的現代性。
但是現代性也告訴我們,語言就是生活本身。由是逐漸熟絡生活的過程就是語言能力進步的過程。第一次「不得不」說德語,是購買空缺的日用品時候,很簡單的問句和詞彙也足夠當時的我反應許久,這可能是我第一次感受到了「拋出」感。幾天的受罪後,我開始對常用詞和句子敏感,說來滑稽卻也合理,這種語感基本無關考試和所學。不過考試還是要考的,補完語言測試後註冊,許多程序倒也簡單明瞭,政府和各種機構的辦事效率乏善可乘(聽說隔壁法國更糟?)。稍顯新奇的體驗是又開始收到紙質的信件了,對於過快接受了現代化的中國來說確實罕見。
如今再回顧時,會有一種和國內生活沒什麼大區別的錯覺,生活節奏當然是慢了下來,習慣了等待,習慣了什麼也不干,也終於有了在圖書館通宵的奇妙經歷。飛速過去的一年僅僅是個開始,之前已經有的基礎就可以應付不少。拜這所賜,我也有更多時間去提前閱讀和瞭解更高級的 Thema。四處玩了不少地方,一個人去了 dream city 布拉格,聖誕夜在斯特拉斯堡和其他白學家攀談,多山的南德有很多徒步和攀登的機會,可能是一種只有在這裏才能被養成習慣的娛樂。
Q:轉純數後悔不後悔? A:不後悔,解決問題的愉悅就足夠我支持下去了,哪怕毫無天賦。未來的 Arbeit 也可能會做於 TCS 和邏輯相關的複合領域。
Q:重新讀 Bachelor 有什麼問題嗎? A:比我年紀還大的多了去了,國內總是急不可耐地想要將各種階段按部就班,不出差錯地完成,這真的值得嗎?況且,咱還看起來年輕得很呢(指買酒被要求出示證件x)。 不過我還是不建議放棄國內的大學來重讀,很不建議!
Q:談談對「潤」的看法。 A:最近這個字在中文互聯網的熱度十分高漲,其中隱含的意思非常豐富。誠然如今的形勢,乃至未來十年的形勢都不宜在大陸久留,但「潤」不是永遠的靈丹妙藥。 無關卻有關的事,請自品:我一直會留枚法國的歐元硬幣做幸運物。也希望無論何時何處,都能身體力行那最基本的原則,那美麗的三個詞,自由,平等,和博愛。
好久不見!
今年不在生日準時發佈年中總結有許多原因,首當其衝當然是因為自己懶 ORZ,另外也是由於意識到,八月底寫就這篇不成條理的文字也有重要的紀念意義——這正好是我來到德國的一年整。
這種體驗的巨大差離和思維方式的轉變,許多都是無法準確言說的,其本如拉康所言,我採擷實在界投影的碎片,聊作自娛之用,徒勞地嘗試找出雞湯味的事理罷了。
但這也不意味着人們不該言說,二十年代向人們揭示了,言語的力量一定是可以比肩炸彈,資本,透明風暴乃至冷漠無情的「絕對」的。為了世界的存續,為了將偶然耕耘成必然,請大家多多暢所欲言吧。
東亞的人常常會用「緣」來代替「命運」這個概念。因之於「緣」這個能指帶有了更多的主動性。人們往往並不能對抗命運,但人們往往可以結緣。「緣」絕不如「命運」這般殘酷,但它的重量也並不容忽視。我是個極其珍惜這種「緣」的人,希望我們能一起,結下這獨一無二的「緣份」。
]]>一早就被不靠譜的德鐵氣暈,因爲維修而換了輛 SNCF 的 TGV,不過坐着倒是比 ICE 舒服一點。從法蘭到斯堡只要兩個小時,八點多天剛亮就越過國境了。萊茵河邊已經算是斯堡的郊區了,雖然和對岸沒有太大區別。 主站出來就是 CG 里的 Gare de Strasbourg 的玻璃天幕,這個設計着實出彩,給背後的新古典車站增色不少。 從車站到大島的路不長,歐洲的城市大約都是這個規模。這麼一看春希還打車着實是嬌慣(笑。沒看地圖往島中央走,第一個摸到的就是克勒貝爾廣場(Place Kléber),聖誕市場還沒撤去,草草地逛了逛幾個攤子,決定先去大教堂看看。 雪菜說大教堂從城市哪個角落都能看到,所言不虛。斯特拉斯堡聖母教堂( Cathédrale Notre Dame de Strasbourg)高142米,在17世紀前兩百多年間都曾是世界最高建築。教堂里已經擺滿了爲明天彌撒準備的木質椅子。四圍馬賽克是神羅歷代皇帝繪像,很值得一看,而在教堂一角也有十分著名的斯堡天文鐘。 遊戲主菜單的畫面就在大教堂西北的小巷子里,這裏本身就是一條很熱鬧的商業街,還有一家十分著名的鵝肝店。看到嬉笑着拍照的櫻花妹,不確定是否是爲白二而來。 可以看到完全一致 大教堂後面還有羅汗宮(Palais Rohan)可去,曾經是路易十五和拿破崙的行宮。裏面的裝飾藝術博物館陳列了18世紀法國洛可可式的室內裝潢,而 Fine Arts Museum 里也有不少荷蘭畫派的作品。 這一天的斯堡異常寒冷,大約在-7度左右,羅汗宮安全檢查的工作人員,看到我冷得發抖的樣子直笑,顯然對長期生活在亞熱帶季風氣候的我,這樣的天氣着實太詭異了。 訂了遊戲 CG 里出現的酒店 Regent Contades。位置稍微有點偏,自大島中心三站電車可達(或者步行十五分鐘左右),旁邊就是斯堡地標之一的聖保羅教堂。 算上聖誕溢價一晚300歐,還是有些肉疼的。
晚上廣場的聖誕市場人非常多,有很多阿爾薩斯傳統甜點和香料酒售賣,這也是歐洲最早的聖誕市場之一。 阿爾薩斯的料理偏德式,酸菜配啤酒煮過的豬肉非常好吃,同時很淳樸地繼承了德國餐館量大的特點。
十點多出門,決定先去小法蘭西(Petite-France)逛逛,這裏也是雪菜和春希散步,以及和紗接受春希採訪的地方。 早上雨下的很大,某種意義上也是更有氣氛了。雖然我期望着下場雪,但最後也沒能如願。 包括小法蘭西的大島整塊都是世界遺產,這裏完整的重現了16世紀德式桁架房屋群的風貌,但是卻被冠以法蘭西的名字,所以這裏自古以來也就是白學堡了(笑。 兩處巡禮地點挨得十分近,大概隔了一個街區的樣子 附近聖多馬教堂有 Schweizer 和 Mozart 曾經演奏過的管風琴,可惜因爲平安夜的緣故不開放。
完完整整地逛了兩邊大島後也累了,回酒店休息準備參加凌晨的彌撒。 大約七點多的時候出了門,打算把冬馬走過的路程復現一遍,從火車站出發,看到春希上出租車後追趕,如何弄斷了鞋跟,如何失落地在大島上遊蕩,平安夜的緣故,大部分店鋪早就關門,街上的行人也寥寥無幾。也許還有凍入骨髓的寒冷,就這麼一瘸一拐地走到了克勒貝爾廣場。 看着聖誕樹在八點點亮,耳機里的 Twinkle Snow,伴隨着周圍人群的歡笑,眼淚還是差點流了下來。 也碰到了好幾個白學家,甚至還有兩兩相依着來巡禮的。
大部分仍留在市區的人,都聚在幾家酒吧和餐館里。喝啤酒時聽旁邊兩美國人起勁地聊着男友,就這麼一直到了十一點左右。街上空空地,前面並排行走的三人,攀談時放起了電子舞曲,就着櫥窗透出的微光,在牆上留下了躍動的身影。 教堂外排隊的人不少,有持槍的法國警察在維持秩序,這也是在德國少見的光景。 到了十一點半進教堂,首先是管風琴獨奏,接着是弦樂清唱配管風琴伴奏,大部都是拉丁語的古聖歌。發放的單子上有幾首法語和德語的唱詞。 半小時後儀式開始,由四個持刀護衛領頭列隊行進,從右側穿過中堂到祭壇。跟在其後的依次是,舉十字架者,持薰香者,抱聖子者,主教,四位着紅衣的神父和兩名祭壇侍童。抱聖子者將其置於祭壇上,象徵誕生。然後是主教祭拜,主祭領唱聖歌,頌法語和德語的祝詞。這期間全體必須站立,跟唱聖歌。 我對這套儀式並不熟悉,也要感謝坐在旁邊懂法語的,剛認識的白學家老哥翻譯。而在主教冗長的講話時,他也一邊露出苦笑一邊嘆氣。憑藉着一點三腳貓的語法和法德雙語中廣泛的通用詞也能理解些到底是什麼內容 再想到雪菜一個人無依無靠,好奇又緊張地在如此陌生的語言和環境里,也不會不對春哥的「背叛」感到生氣了。
聽到一半實在不耐,加上將近一點,睏意襲來,便中途離開了教堂,算是完成了在斯堡的最後一件心願。 後記: 回來之後隔天法國 Omicron 變種就大爆發,一日新增 20 萬人,甚有種跑毒的意思。
]]>一路沿着小徑,秋意漸深,這條尋常的散步路徑少有人跡。轉過幾個拐角,不時有推着嬰兒車的年輕母親,草地上散落着她們的玩物。再走過一個分岔,已經不再有人聲,我留意着尋常的樹影,投射下來的美妙光澤,直到那張吊床出現在眼前。
睡是一個持久性的運動,它指向了人類最深處的情慾和陰鬱。在夢還未到來前,睡就是原初的混沌,邊緣系統極力抑制着皮質的活動,而未曾企及的目標——思考也被全然封鎖。在我之前的那具熟睡着的軀體,以一個不能再舒適的姿勢斜臥在吊床上。在一旁的草地上,橫陳着全部行當,大而鼓的旅行包,污漬斑斑的野餐墊及防雨布,和在最上面的深綠大衣。
神聖的睡把他的年邁掩蓋了,以至於我未能看清楚他臉龐上的皺紋。睡產生了美,而均勻的呼吸響應着日夜節律,一致,整齊地投射到觀者的心靈上。
他睡了有多久了?沒有人知道,睡的持久成了永恆,沒有任何異動和聲響能將他吵醒,在這一刻他就是世界的王。
她神經質地號哭着,尖銳地咒罵着一切她所能看到的東西,直到倦累,不再能支持自己站立。一旁的老松樹沙沙作響,悼念着已死和,未死的,不該死去的和死得其所的所有人。
歐羅巴的墓地都非常有意思,它們或設計獨特,或環境優美,抑或埋葬着大名鼎鼎的人物,所謂的「歷史」人物。墓地往往是開放的,在遵守禮節的條件下,可以自由地參觀和祭拜。著名的譬如魏瑪的諸侯墓地,布拉格的高堡教堂墓地,是相當值得一覽的去處。而有些墓地也鮮有人至,它們和被埋葬者一道,淹沒在深不可測的時間里。傳奇,或者是怪談滋生的小角落,永不能描述盡的苦楚,這些辭藻都不能概述這些散落着的墓地,它們的獨特之處。
已經渡過冥河的那些往生者,代替生者承擔哀傷的重量,他們一次也不會回頭。這是另一種生死觀,也是另一種先祖崇拜。
而那些在墓地里灑過的淚水,跳過的舞蹈,一切的一切,都只是在爲死亡做準備。我們只是未死者,而從不是不死者。
禮拜日的市場廣場(Marktplatz)有個人。
一個蓄着鬍鬚,背微駝的老人。他提着的環保袋空空的,四周緊閉的店門拒絕了行人的進入。他的毛料大衣微微翻起,但依然很得體地穿在身上。他步履蹣跚,但也頗有風度地走着。
他會給每一個街邊蜷縮着的流浪漢扔下硬幣,那些茫然卻又不哭訴自己境遇的人,街邊的風貌。他會逐步傾聽每一場即興演奏,小提琴,吉他,馬林巴琴,手搖風琴,乃至單純的鼓。他就這麼堅定地無目的地走着,走過每一個櫥窗,那些閃閃發亮的手錶,皮貨和珠寶。
在地鐵站的入口前,高高飄揚的阿富汗伊斯蘭共和國旗幟。幾個大鬍子的年輕人,高高舉起阿拉伯文的標語,散發着傳單。駐步的人不多,聚起的一小部分人群傾聽着她們的歌舞,他們的控訴,它的淚。
他也停下了腳步,望向那面旗,長久的,太陽西沉。
老市政廳總是有許多遊人,他們一波波地來,許多便是那世界著名的德意志老年人旅行團。事實上,爲游客中心做這些導覽服務便是一項很熱門的兼職。他們的講解當然幽默風趣,在歷史中穿插着段子和軼事,試圖讓這些離休後『享受生活』的老年人感到愉快。
聖夜臨近,臨時搭建的市場和裝飾已經完成,就算是新爆發的疫潮也沒能嚇退人們的熱情。同樣在這個時候,街頭可見的生態也越發拓廣,多數是樂音,連帶着一人集會,多人集會,一人表演,多人表演,一人娛樂與多人娛樂。
拐離主道,Thomaskirche 前的樹蔭稍稍幽靜些。這週五演奏的康塔塔海報貼滿了牆,啊,真想去聽一聽呢。
安靜的氛圍也會有安靜的表演。古希臘的劇場是表演和集會的場所,如果政治藝術也是表演的一部分,那一定是可在悠長歷史中追溯的傳統。嘿,瞧這是什麼的傳單,紅底上的那個標誌給無數人帶來了幸福和苦難。
能給出去的傳單不多,包容和歡迎顯然是兩回事。不過似乎,發放者和接受者也都不怎麼在意。紅色不是個討人喜歡的顏色,但是,我轉過身,新教的塔樓高聳,構成天際線的一部分。革命真的是這麼安靜的事嗎?
]]>根據本地表格的記錄,大概是讀了 57 本書。不是一個很滿意的數字,下一年要好好努力了。
很有理由相信《冀西南林路行》又夠我們聽十年。
平澤進真是個天才啊。
最近喜歡上了聽 Kraftwerk 和 Aphex Twin,也許這就是電子楽的獨特魔力罷。
依據 Bangumi 的記錄,上一年共計觀看了 121 部動畫。考慮到我的速度,確實是一個很驚人的數字了。其中值得推薦的有(至少八分及以上):
還有許多諸如《王立宇宙軍》,《在這世界的角落》等等優秀的的劇場版動畫暫不細述。
強烈推薦我見過遊戲史上最強的文本《極樂迪斯科》,並真誠地相信伊蘇林迪竹節蟲一定會再次到來。
/1/ 去年的世界於我是相對靜止的。
/1.1/ 靜止是一種時空概念。
/1.11/ 過長的空窗期導致時間毫無波瀾地前進。
/1.12/ 空間上的位移被侷限在了偶爾的幾次短途旅行。
/1.121/ 托其所賜,我變胖了,但也沒完全變胖。
/1.13/ 靜止是平庸的,不值得一提的。
/1.131/ 難以想象 gap 年會這麼度過。
/1.2/ 這種靜止是受力,而非自然形成的。
/1.21/ 這種力的生命驚人地頑強。
/1.3/ 我的世界之意義在世界之外。
/2/ 做了許多事,也沒做許多事。
/2.1/ 做了許多事,不過都半途而廢了。
/2.11/ 降了自己的網絡熵。
/2.12/ 寫了點不大不小的玩具。
/2.13/ 總算是稍微入門了 Logic(大概?)
/2.14/ 雖然但是,鴿了那麼久的 《JK 也能聽懂的理論物理(四)》在哪裏?
/2.141/ 以後還想寫更多其他領域的系列,感謝支持w
/2.2/ 想做許多事,不過都沒真正實行。
/2.21/ 破碎的語句和點子其實寫了不少,不過都沒付諸行動。
/2.22/ 一直想寫個 galgame,或者完成那本小說。
/2.23/ 想正視自己的認同,以及妥善地出櫃。
/2.24/ 雖然但是,還真想去趟布拉格啊……
/3/ 沒有理由相信明年的世界會更好。
/1/ 歷史確實是終結了。
/1.1/ 但終結的也只是歷史。
/1.11/ 歷史的一切,連帶其中失落的無數可能性,都被國家意志消化了,它成了任由力量操弄的木偶。
/1.12/ 只是下一個可能性,已經不可能從歷史中得出了。
/1.2/ 歷史的終結意味着宏大政治的終結。
/1.21/ 運動已經失去力量了。
/1.22/ 歷史終結了,所以政黨也終結了。
/1.221/ 在各處不斷極化的選民讓選舉近乎失去了意義。
/1.222/ 可能再也不會有新的,足以成爲政治理念的思潮出現了。
/1.2221/ 所以,古典形式的共產主義運動大概確實失敗了。
/1.2222/ 新的產生的所謂生活政治,是很無力的物件。
/1.3/ 終結以不同形式發生着。
/1.31/ 歷史可以很容易地被符號化,由此在一百年之間的所有掙扎彷徨,都被包裹再加工。
/1.32/ 在已經迎接過終結的國度,一切僞飾都是可笑的。
/1.33/ 現代中國只是那個難得的現在進行時,它給了我們許多觀察的機會。
/2/ 唯一活着的是不斷膨脹的機器意志。
/2.1/ 機器意志來自革命。
/2.11/ 每次革命其實都是不徹底的。
/2.12/ 尤其是從去年起,我們應該明白了過去可觀的漫長時間中,被共同認可的很可能根本不是所謂自由,民主和正義的 「普世」價值。
/2.121/ 儘管如此,我還是樂意相信自然法則的正確性。
/2.2/ 它們希望我們接受這種一樣的現代化,如格式塔般的均一性。
/2.2/ 機器意志的膨脹具有代理人。
/2.21/ 右轉的世界和所謂獨裁都只是現代意志的表象而已。
/3/ 不可被終結的人與意志之間,出現了永久戰爭。
/3.1/ 這種戰爭是現代唯一可能的戰爭。
/3.11/ 無論是絕望的恐怖襲擊也好,犬儒社會中的掙扎也好。
/3.111/ 這是否意味着,少數群體將會永遠被壓迫,同化,清除?
/3.12/ 意志與意志之間的戰爭則會被割碎。
/3.2/ 這是一些必敗的戰爭。
/3.21/ 人是裸露的,無保護的。
/3.22/ 『透明風暴』一視同仁地抹殺着每個人。
/4/ 終結的歷史對於下一個人,會是個絕好的機會。
/4.0/ 在朝着現代化的道路上,我們已經開始憑藉慣性運動了。這是個絕佳的好時機,以用來考慮我們會面對甚麼,我們應該做什麼。
/4.1/ 下一個……更完整的人,更一致的人。
/4.11/ 只有這樣,也許才能平等,也許才能博愛。
/4.2/ 下一個……更自由的人。
/4.12/ 一個不受性別,性向,符號,不公,資本,國家暴力壓迫的人。
/4.3/ 一個摒棄了超人論的新人類,會是這個世界上最初的人。
/5/ 感傷得就像矯揉造作的四流浪漫主義詩。
]]>智者用言語編織自己的華裳
思考可以說是證明自我連續的一種有力方式。大部分時候思考會不假思索地進行著,一如我們的本能。抛開神經遞質理論的無趣說明,我們在此追問,思考本身能被思考嗎?自三段論開始,邏輯學成為了論述思考機制的武器,從顯而易見的事實——這些構成世界的基本要素,到達結論。
這匹被有力驅動的機器需要一些輸入來運作,當然,自原子化的事實到達可被言說的語句需要很長的道路,出現一種中間表示似乎是必須的。知識這個概念被創造出來,指代一些真的,可被檢驗的,並且由某人所導出的結論。這仿佛是思的必然要求,普適明晰的知識用作邏輯的能源,制造思想,然後是知識的再生産,進而是「那些曆事範疇的平庸玩意」。美妙的形而上學,不是嗎?
前現代的玩意就說到這兒了。即使是在系統性的質疑被提出前,我們也已經能很清楚地感受到知與信息的區別,知與思的鴻溝,乃至知與純粹邏輯的界限。
當我們在談論知識的時候,我們在談論什麼?小時候學會騎自行車的體驗真的能被歸結為一次證明嗎?我們如何不假思索地「認識」了某個人的相貌?前幾段討論的知識很多時候是一種准則般的概念,而對于這兩個問題,知識論也可以用「技能習得」和「物體識別」1 來將它們排除出哲學的討論範疇 2。
不過所謂「准則性知識」,也會被分成三種看似矛盾的來源。第一種是最確定的數學「證明」,它們的檢驗可以被輕松地送入方法論的討論範圍。其次是「觀察」,這種無機質的行動可以通過減少誤差,引入多個主體來確立一個標准。最後最棘手的,是被稱之為「理論」的概念。理論似乎是建立在證明和觀察(實驗)基礎上,但又與之不同。感官和行動似乎參與了理論的形成,但又不完全可信。功利地看,理論成為知識的標准只是能否指導現實行為,取得可被量化的效益,但我們也知道這個定義不是完全牢靠的。
對理論的追問構成了科學哲學的中心問題。
如果把我們的「知」認為是一系列邏輯公式的集合,我們至少可以導出關于科學哲學的一系列結論。譬如,通過模型論,我們很清楚的了解到了一個無矛盾的「理論」一定對應著模型。而多個模型——無論它是否是實在界可被度量的存在,可能享有一個理論。
一個有趣的例子是非標准分析(Nonstandard Analysis)。在很長一段時間裏,分析學的基礎建立在魏爾施特勞斯(Weiterstrauss)提出的極限概念上,亦即 \(\epsilon-\delta\) 定義。但是在這之前,萊布尼茨認識到如果將無限小看作一個確定的量,微積分也能很有效的運作。包含了無限量的超實數域 \(\mathbb{R}^{*}\) 可以被證明(使用緊致性定理)和實數享有共同的理論。這在數學上就是算術的知識界限。但是非標准分析被運用到「思」,也就是實際的數學研究中時,卻能産生出乎意料的效果。它大大地簡化了拓撲學中一些定理的表述。
然而知的界限不只在邏輯的一致與完備。一個社會學家很可能會是個一定程度的不可知論者,我們能從曆史教訓和長篇累牍的專著中一窺跨文化認知的艱難。否定普遍的真理存在,從而在文化相對主義——尤其是語言的層面上建立起真的標准,很多時候似乎比科學哲學的道路更可行。尼采認為真理是一些于某些人被「固定」的詩學闡釋,建構地考察,知識由一系列被規訓的符號、行為和表演所組成。這些「真理」又在我們面向世界的體驗中被強化和驗證。
值得玩味的是,在這個建構的體系中,許多文化會把知的「真」和倫理的「善」劃為同一個東西。因此,當亞文化甚至反文化的要素出現,都會受到一個審視和自覺的排除。對性別認知的「進步」式質問就是個典型的産物。由是,知的界限同時也是倫理的界限3。
對普遍真理的肯定是知識論的一個核心4,並且它在很多場合也會和政治思辨挂鈎起來。「真理」可能是對抗暴政的武器。英特納雄耐爾的口號會是對世界天翻地覆的重現5。但另一方面,「真理」也會是某一生活形式的擴張和引入,在這種情況下,工具性的「知」變為了我們「思」的圭臬。
我們自然相信著我們取得的知識,但我們又是通過何種方式相信它們的呢?著名的 Gettier 問題就是建立在我們「信」與「真」的不一致上。在這裏我只翻譯一個類似的典型例子:
我們行走在沙漠中,身上的水也喝光了。突然這時,不遠處出現了一片郁郁蔥蔥的綠洲,于是我們得出了那裏有水的知識,並相信著它。但我們跑到那裏一看,卻發現只是一片海市蜃樓,不過幸運地是,我們在一塊岩石下發現了泉眼。在這個過程中,我們相信的真的是「知識」嗎?
如果稍有不慎,我們又會以此陷入相對主義的危險境地中。我們意識到,我們相信知識的理由,與知識本身顯現為真的路徑可能是不一致的。在這個基礎上,我們可以重新考察神學與信仰,並體味現代系統性的哲學研究是怎麼從至高存在脫離出來的。
從本體論論述,我們的信仰是和諸現象相區分的存在,因此宗教信仰不應被作為斷言的對象,它們也在某種意義上變成了不可言說之物。同樣,在知識論的範疇中也不可能探討宗教信仰(或者被叫做神學知識會更好)的真僞。因為它們並不是關乎事實的知識,而成了關乎價值的「認知」。許多信仰上帝的基督徒並不能也不願陳述出信仰的「理」,相反,無神論的我也會擁有著可被檢驗的6 關于宗教的真知識,即使我並不完全信仰它們。
這可能是一系列文章的開始,很多深入有趣的點我也沒來得及探討,比如知識和信息的聯系。事實上,這個主題也是我寫這篇文章的契機。前不久在《大西洋月刊》上讀到的一篇書評 和與 @Copper 的討論催促著我將自己對知識論的膚淺思考整理下來。
很多時候我使用隨想式的批評來撰寫這些文字,因此對參考的引用也變得十分隨意。盡管標題說是要講到思,但我想還有很長的一段路要走。
]]>歷史總愛把一些惡意的責任甩到我們頭上,但我們完全可以選擇視而不見
標題取自 Wayne’s so sad 的曲子「妳是不是我編出的一個謊?」。
鐵軌在江前一轉,從平原闖入另一個平原。不堪的信號,使得無所准備的旅途也稍顯乏味。本想打開 IDEA 來給 SOPT 寫點什麼,直到盯著拉索引的 cargo 好一會,才怠怠地關掉終端。
在連綿的大別山不知第幾個隧道睡去,醒來時已近武漢。天突然出落落地晴朗,陽光透過雲層,給野地和高鐵上的一切物件都鍍上層金。于是我想,這座華中最大的城市的確有這樣的資格,享受如此注目。
丘陵之後現出了長江,一種沖擊感籠罩了我。為什麼只有江城的長江能這麼漂亮呢?其實這只是稀松平常的景象,不斷減速的列車外,沙洲和工業碼頭,素樸的實用主義。這條偉大的河流在離開群山後終于表現出了母性的溫柔。
一個不檢查健康碼的城市能讓我初來的好感增加一倍,很幸運武漢就是這樣的。
江漢路很長,時近九點的步行街上,依然熙熙攘攘。盡管我時刻提醒自己,我是來人間觀察的,不是來旅行的。望著一張張面孔,一股股人潮,一次次列車,我卻觀察不到什麼,這是最好的結局,也許我已經得到了想要的結果。慢悠悠踱過古典主義形態的金庫的老頭,一路哼著小曲,就這麼一直哼下去吧,歷史需要這樣的時刻,時間段和歷史本身。
行道混載著櫻花和玉蘭,稍稍彌補了一下忘記預約珞珈山賞櫻的遺憾。湖北博物館的青銅器一定能讓精先秦猝死吧(指。一路往東湖走,坂道錯落,恍惚間以為不在內地。湖邊有個神奇的地方,沒有護欄孤零零延伸到湖中央的石堤。坐在上面望珞珈山,南望山和磨山……似乎那邊的中科院植物園有世界最大的系統蘭花栽培,可惜這次沒機會去了。
黃鶴樓則是乏善可陳,不登卻也當然少了點什麼。倒是鄂軍都督府前的國父雕像,是少數大陸還能見到青天白日的地方,這點寬容和南京相同。小鳥雀停在先生的肩頭,凝望著江城鬧市。
下午四點下起一陣急雨。坐著等雨停。雖然雨勢漸大,也不適合在江灘散步了,但這場雨也來得及時,因它給了春以形式。在中華路坐船到漢口。雨濛濛裏江風吹著也少許有些冷了,漢口岸停了艘051驅逐艦(應該是西安號),甚是好看。望著長江大橋,細細思考江城與南京的同與不同,也是在這時又想到了《哲學研究》的注還沒寫完。武漢的江是有人情味的,在見到等待輪渡的外賣騎手時,我明白了這一點。
水和語言一樣,也是維特根斯坦所言的生活方式。當江成了人們生活中的主要物件時,江才能變成那種樣子。人沒有選擇任何生活,人只是選擇了城市的生命。這也造就了城市最偉大之處,那便是「隨處可達」。
P.S. 湖北的西南官話帶有一些中古味,余留的一點入聲和尾鼻音都蠻好聽的。沒有典型的方言好處是更加可以放開了人間觀察。背後聊著如何營銷和打造網紅的經理,聊著文物是真是假的觀光客……
是不是所有回憶終將趨向虛構?也許如今我已經走在了虛構中,不過,冬天過去了。
]]>I want to emphasize today that what Wittgenstein said about logic, in fact, turns out to be something that actually forbidden in logic. Not only ethics and religion, but also logic truth itself, cannot be said in logic, or precisely, first-order logic.
A previous understanding of first-order logic and set theory is needed for this essay.
Where does number come from? Does it just lie beyond the world, like logic? One may argue that set theory has already give us an elegant definition, which is \(\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}...\). This structure does have nicely well-ordered form, and be consistent with axioms of set theory.
In other sense this definition is just a construction, instead of explaination. We decide to make these sets natural numbers because we have already known the properties of natural numbers. Moreover, this structure is unable to derive addition and multiplication with only logic insight1.
Another approach we can rely on is counting. Consider a collection ordered into a row. We do not really care about what elements in this collection, but in some ways they are same. At first, we have a row, one at front of the other. We can observe this is always the shortest row in all. We call it two. By appending immediately an larger element, we get what we called three, and so on.
If we append another ordered row onto this row, and count these elements, we now get a little addition example. Also, if we replace all elements in the row with a row, we actually get multiplication.
This means we have built the number system on the observations of sizes, the size of same ordered collection. We cannot make deeper clarification now. Concepts are always abstract, and if we dare to walk into the field of phenomenology, there is always room for doubt. For example, how we know what counting is? Is it a given of intuition? And this is not this essay aiming for.
Readers may be concerned that we start the counting at two, but what about one and zero? We need to be very careful when we talk about one. Only once we accept the forming of natual numbers from comparisons of sizes, can we accept the extreme case of this one-element row. This is an argument first proposed by Edmund Husserl. One is the first negative number, that is to say, one is lack of multiplicity. Nothing is being compared in an one-element row.
When it comes to zero, things become more interesting. Not every numberical system has zero, and in fact a number system without zero, denoted by \(\mathbb{N}^+\), is isomorphic with natural number. Zero is a status ready to be extended, an extension of our counting method. Moreover, zero is essential when making \((\mathbb{N}, +, \times)\) a field.
Our number system works well in every finite domain, but arises a serve problem when considering about infinity. The two words only make sense when related. No infinity, no finiteness. If there is a man labourously append elements after the row, step by step, he will soon get an arbitary large set, but not infinity. Infinity is not any result of finiteness, it must begin from infinity.
This is an astonishing derivation from logic and set theory, that we always denote the first ordinal reached infinity \(\omega\), the ordinal of natural numbers. Then what’s next? We have \(\omega + 1, \omega + 2, ... \omega^\omega\), we can even define the first ordinal that cannot be recursively defined in terms of smaller ordinals as \(\omega_1^{CK}\)2. These infinities are all countable, which we called structural infinity. The infinity is axiomatized in ZFC and NBG with axiom of infinity:
\[\exists S: \emptyset \in S \land (\forall x: x \in S \implies x \cup \{x\} \in S)\]What really worry us is uncontable sets, like \(\mathbb{R}\), whose ordinal is \(\omega_1\). Despite what Cantor made towards the magical and anti-intuitional findings, many mathematicians and philosophers still have doubts on what set theory brought. From a philosophical view, infinity must lose so many personalities. If there really exists a substantia containing everything, then this unique God must not care about anything.
Even from a logic insight, some debates do have their places. An example is the structure \((\mathbb{R}, +)\). What should we think about the relation \(+\)? If it is a function performed on inputs, then there inevitably exist something uncomputable elements, like some transcendental numbers. If we think of it as a database, and formula like \(a + b = c\) is what we finally find, there will also be some doubts: Searching is a step-by-step performation, and thus how can we perform an effective search in the domain of vast, uncountable sets? Finally, if we consider relation as an oracle, a machine ready to answer your yes-or-no question, then how can we ask some triples that even do not have names, like some infinite strings of digits?
These questions pushed the development of model theory on first-order logic, precisely, the definablity of elements, which I will show in next section.
Since many first-order sentences can be talked about on structures, there must be structures where a set of sentences always be true. Formally, a set of sentences \(T\) now has a model \(\frak{U}\).
Let us inspect a simple structre \((\mathbb{N}, \lt)\). What can we say about it? Firstly, it is obvious to see all elements in it can be defined uniquely, or in another words, \((\mathbb{N}, \lt)\) has no nontrivial symmetries.3 I will only show you two examples:
For zero, we use: \(\forall y: x = y \lor x < y\), and denote it as \(0\).
For one, we use: \(\forall y: 0 < y \implies x = y \lor x < y\), and denote it as 1.
Here we give the definition of definability:
Let \(A\) be the domain of a structure \(\frak{U}\). A subset X of the Cartesian power \(A^n\) is definable in \(\frak{U}\) if there is a first-order formula \(\phi(x_1,...,x_n)\) of the language of the structure such that \(X = \{(a_1,...,a_n)\ :\ \phi(a_1,...,a_n)\ is\ true\ in\ \frak{U}\}\).
In \(\mathbb{R}\) there always exists undefinable element, like \(\pi\). Thus we must expand such structure \(\frak{U}\) into \(\frak{\bar{U}}\) so that every element \(x\) can be determined by a unique unary relation \(R(x)\). If \(X\) is definable in \(\frak{\bar{U}}\), then it is said to be parametrically definable in \(\frak{U}\).
\((\mathbb{N}, \lt)\) is really so tame in logic sense, in fact, it is even minimal, which means every parametrically definable subsets of \(\mathbb{N}\) is either finite or cofinite(its complement is finite). The proof is omitted in this essay in case of long and dull reading experience. For more information, readers can find in Model Theory Wiki and nLab.
\((\mathbb{N}, +)\) and \((\mathbb{N}, \times)\) is not minimal, so one cannot define them in \((\mathbb{N}, \lt)\). However, they still have some well defined properties and can be understood without a gap. But when we combine them together to get \((\mathbb{N}, +, \times)\), so many wildness arrives. It is infact the most complex structure modern logic and mathematics dealt with, and it turns to be so sad that first-order logic can reveal so little about arithmetic.4
Another interesting fact is that the final number field \((\mathbb{C}, +, \times)\), proved by Chevalley and Tarski, is also minimal, which makes it as simple as \((\mathbb{N}, \lt)\) in logic. In this case, properties related to complex numbers often have no first-order ground, like beautiful Mandelbrot set.
Finally, I would like to conclude this part with the proof that finiteness is not definable in first-order logic, that is to say, no theory \(T\) has only finite model.
If we have such a theory \(T\) that models arbitary large finite domain. Then, consider a theory \(T'\) consisting of \(T\) and the set of sentences \(\phi_n\), for \(n = 1, 2, ...\), which says there are \(n\) different elements. Since \(T\) is arbitary large, every finite segment of \(T'\) now has a model. By compactness theorem, \(T'\) also has a model, which is a model of \(T\), and its domain is absolute infinite, since all \(\phi_n\) holds.
This also brings another conclusion that no single sentence theory \(\{\phi\}\) can describe infinity, which will make \(\{\neg \phi\}\) describe finiteness.
Modern mathematics is built on set theory and logical deduction, but it does not mean this ground is so firm that no doubts can be presented. In 1929, Gödel proved the completeness theorem that if an axiom system is effectively presented, it must have a model whose domain is \(\mathbb{N}\) and relation \(E\) can be defined on \((\mathbb{N}, +, \times)\), so does ZFC itself!
We rely on the power of logic, we also need some caution to understand what logic cannot do. A paradise brought by Cantor, though said by Hilbert, cannot easily be abandoned. Back to Wittgenstein himself, he wrote the following paragraph later in 1939:
I would say. ‘I wouldn’t dream of trying to drive anyone out of this paradise.’ I would try to do something quite different: I would try to show you that this is not a paradise—so that you’ll leave of your own accord. I would say, ‘You are welcome to this; just look about you.’
To those curious readers, you can check any first-order formula on structure \((\mathbb{N}, \lt)\), but a more powerful tool to prove it will be introduced later. ↩
This is called Church-Kleene ordinal. ↩
A joke: “Every natural number is interesting, if there is one uninteresting, then ‘all numbers in front of it are interesting’ makes it interesting too.” ↩
There is a proof by Gödel that arithmetic is not axiomatizable. Also, Tarski showed the set of all sentences are true is not definable in arithmetic, in his famous undefinability of truth theorem. ↩
西郊有密林,助君出重圍。
時近午夜,她熄了大燈,重又坐到書桌前。宜家的廉價台燈並沒能完全照亮自己,這座城市的冬日深沈地襲入扁平的現代房屋,她打了個哆嗦,摸索著遙控器,卻不慎撞翻了余有湯水的方便面。
她懊惱著起身拿抹布時,瞟了一眼屏幕上時間,23:58。說不定來不及搶微信群裏的紅包了,她想。這該死的一年依然以該死的結尾收場了。
半個月前,她換了工作,坐了18小時火車,獨自來到北京市郊。短租房的價格並不便宜,在踏上首都土地同時,她就把找房子列入了待辦事項最優先的一欄。日複一日早九點的提醒慢慢讓她厭煩。在效率的神話上我又做到了什麼呢?心生的疑惑被一個個記下,時不時翻閱,卻連綴不成的詞句。
抹幹淨桌面同時,她聽到了蜂鳴器的報時,伴有接連的消息提示。她急忙拿起手機,機械又准確地點開飛速閃過的色塊,有時發上慣用的表情,劃著手指在鍵盤上打出應酬的話。
群發的祝福擠滿列表,她想不到什麼合適的詞句來回應這些陌生的朋友。躊躇了一會,還是用短信親自給幾個人發了祝福,有一個迅速回複了😊,余下則是未讀標簽的沈默。假期也不能太晚睡罷,她想,過了25歲,她們這代人沒有了熬夜的資本。
有空再看電腦已是0:03,她盯了一會這個數字。躍遷的世界誤入歧途,太好了,她突然發現最大的注意點是不能在填表時再用上那個逝去的年份,這是人腦落後的遲滯,其他的呢?「也許數字已經幫我們安排好了一切數字」。該被重置的數值在所有地方都被忠實地清零。
她戴上耳機,想聽首五月天,通知欄閃過一則疫情通報讓她不快。也許這個即將來臨的冬天比去年更加危險,不知怎地她抱有這個預感。我真的走出黑暗了嗎?又一陣寒意,她發現自己還是沒開空調。
城市解封一個半月後,他與留美朋友通了次 Skype,前一晚在微博上看到的視頻讓他有些緊張,他依稀記得發小就住在那之于他十分陌生的城市。
屏幕上淩亂的起居室還是讓他稍稍寬了心,大洋彼岸生活一切如常,甚至可能比這半年的此岸還好些。但露面的發小卻頗有變化,淩亂的胡子,披肩的長發,呈現出在家松散、跨落的生活。
大學停課後,他只出過兩次門,一次是沃爾瑪,另一次則是送發急病的鄰居老太太。「中國人都要謹慎不少,隔三差五從樓下經過的競選集會也沒有亞裔的影子。」
「在家嘛,也不怎麼講究,胡子一周刮一次也夠了……」朋友笑。這時,倚坐床沿的他聽到一聲似雷聲的巨響,從揚聲器傳出的真實感讓他一顫。對方也一定聽到了,他急忙跑出房間,少頃又回來,像寬慰了不少。
「還以為是拿著槍上樓了……你也知道了吧,波特蘭這幾天都不怎麼正常。」他帶著點憂慮,想說什麼,卻只點點頭,繼續聽朋友講。那些並不怎麼熟悉的選舉和平權運動,陌生又真切,仿佛另一個世界近在咫尺。
友人的一句話讓他回過神來:「還是國內好啊,前段時間怎麼搶機票都搶不到。」他並不太喜歡這句話,他覺得自己是被代表的,好的部分,就像創口貼一樣。
「下半年要是能回來,就去你們學校玩玩……」
「那也得進得來。」兩人笑。
「啊對了,你給寄點土産來吧,隨便什麼都可以。哦,有些應該會被扣,對,寄點榨菜吧,這邊早買不到了,沒了榨菜吃什麼都覺得少點味道。」
「那要什麼時候才能收到啊……哦,過年那會讓你代購的健身環咋樣?」
「我還不知道什麼時候能出門呢。」
哈哈,他笑,摸了摸半年肚子上積攢下來的贅肉,若有所思,可能對方也覺得他變了不少罷。
暗淡的星夜,接到房東電話。他走出大樓,叫了輛車,清秋的夜催促人們披上單衣。掠過窗外的霓虹漸漸亮起,今天下班早,但止不住疲累兒把他狠狠地按在後座上。他癱著,知道房東大概要說什麼,卻並沒做好准備。
與其思考對策,模型殘留的性能問題更讓他憂慮。他想象即將完成的這一單彙入數據流,飄上雲,互聯網接管了它,他盯著前座攝像頭,他的心能被服務器讀出嗎?何時能聽到機器告訴他,大約只有三分之一的旅客是帶著幸福在路上的?
這個數字真的有意義嗎?歸根到底,他想,「苦難依然是要自己咀嚼的」。要是網絡把他的情緒也一齊帶走就好了。他為自己冒出這個想法感到奇怪,畢業前已現端倪的躁狂仍困擾著他,狠狠捶了下座墊。紅燈,他聽見師傅給家裏發微信。
最後一晚躺在這床上,這終歸不是自己的家,行李箱攤散。他想著要寫點日記,起身拿過平板。想想,又點進那熟悉的微博,發了短短一句:今天被房東趕出去了,半年的房子連一個月也沒住滿,不好意思李醫生,讓你聽到這麼難受的事,晚安。一條條翻閱其他人的生活,人間明暗。
複又被顛簸震醒,他回味剛剛的夢。現在已經不知是好是壞。列車有力越過華北平原,窗外差次河流,給散居的村落輸血。對座有幾人聚著喝酒,散落在不鏽鋼盆裏的花生米。有個哥們像講到了傷心事,垂下頭幹號了幾聲。列車員推著餐車走過。
昨晚,他已經明白了不買臥票的錯誤,今年春節回來應該格外早,這確可讓家裏人吃一驚。他盤算,要不年後也晚點走吧,或者再也不走了。六七年前,他拼死拼活考到了上海去,除了做題,對那什麼也不懂。現在,他發現自己對故鄉已經什麼也不懂了。
隆隆地繞過山口,赫然現出渡月橋的影兒,暮色谒然,他伸了個懶腰,將我城的一切都抛諸腦後。
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